Question

Докажите тождество: Cosx*cos2x=sin4x/4sinx

Answer 1

Решение приведено во вложении

Answer 2

Давайте докажем данное тождество, используя тригонометрические тождества.

Начнем с левой стороны уравнения: cos(x) * cos(2x)

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для cos(2x), которое гласит: cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1

Подставим это выражение в исходное уравнение: cos(x) * (2 * cos^2(x) - 1)

Распределение: 2 * cos^3(x) - cos(x)

Теперь перейдем к правой стороне уравнения: sin(4x) / (4 * sin(x))

Используем тригонометрическое тождество для sin(4x): sin(4x) = 2 * sin(2x) * cos(2x)

Подставим это в правую сторону уравнения: (2 * sin(2x) * cos(2x)) / (4 * sin(x))

Упростим: (sin(2x) * cos(2x)) / (2 * sin(x))

Теперь, воспользуемся формулой двойного угла для sin(2x): sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Подставим это в выражение: (2 * sin(x) * cos(x) * cos(2x)) / (2 * sin(x))

Упростим: cos(x) * cos(2x)

Таким образом, левая и правая части уравнения совпадают: 2 * cos^3(x) - cos(x) = cos(x) * cos(2x)

Таким образом, мы доказали данное тождество.