Question

1) решить уравнение 3cos2x-5sinx+1=0 2)Отобрать корни на [pi; 5pi/2]

Answer 1

$3cos2x-5sinx+1=0\\3(1-2sin^2x)-5sinx+1=0\\3-6sin^2x-5sinx+1=0\\-6sin^2x-5sinx+4=0\\6sin^2x+5sinx-4=0\\sinx=t,t\im[-1;1]\\6t^2+5t-4=0\\D=25+4*6*4=121\\\\t_1=\frac{-5+11}{12}=\frac{1}{2}=\frac{1}6\\\\t_2=\frac{-5-11}{12}=-\frac{8}6,t\in[-1;1]\\\\\left[\begin{array}{ccc}sinx=\frac{1}2\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi}6+2\pi n;n\in Z\\\\x=\frac{5\pi}6+2\pi n;n\in Z\end{array}\right$

Отберем корни, удовлетворяющие промежутку   $[\pi;\frac{5\pi}2]$
$\frac{13\pi}6$

Answer 2

Всё подробно написала в решении........................

Answer 3

Давайте решим уравнение 3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0.

1. Начнем с приведения уравнения к виду, где все функции синуса и косинуса имеют одинаковые аргументы. Мы можем использовать тригонометрические тождества для этого.

3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0

Перепишем это уравнение, используя формулы двойного угла для косинуса и формулу синуса разности:

3(2cos^2(x) - 1) - 5sin(x) + 1 = 0

6cos^2(x) - 3 - 5sin(x) + 1 = 0

6cos^2(x) - 5sin(x) - 2 = 0

2. Далее, чтобы решить это уравнение, давайте применим метод замены переменной. Пусть t = sin(x), тогда cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - t^2. Подставим это в уравнение:

6(1 - t^2) - 5t - 2 = 0

6 - 6t^2 - 5t - 2 = 0

6t^2 + 5t - 4 = 0

3. Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать методы факторизации или квадратное уравнение:

6t^2 + 5t - 4 = 0

(2t - 1)(3t + 4) = 0

Таким образом, мы получаем два возможных значения:

2t - 1 = 0 => t = 1/2

3t + 4 = 0 => t = -4/3

4. Теперь вернемся к исходной переменной x. Мы знаем, что t = sin(x).

a) Когда t = 1/2:

sin(x) = 1/2

Из геометрических соображений мы знаем, что существуют два значения угла в интервале [0, 2π], для которых sin(x) равен 1/2: π/6 и 5π/6.

b) Когда t = -4/3:

sin(x) = -4/3

Здесь нет действительных решений, так как значения синуса должны находиться в интервале [-1, 1].

5. Таким образом, корни уравнения 3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0 на интервале [π, 5π/2] равны x = π/6 и x = 5π/6.