Question

Помогите 6x^2-x^4 все делим на 9 исследовать функцию и построить график.

Answer 1

Берем 1 и 2 производные:
y'=(12x-4x^3)/9=4x/3 - 4x^3/9=(4x/3)*(3-x^2)
y''=1/3*(4-4x^2);
ищем экстремиумы:
(4x/3)*(3-x^2)=0;
4x/3=0; x1=0;
x^2=3; x2=кор(3); x3=-кор(3);
теперь точки перегибов:
1/3*(4-4x^2)=0;
4x^2=4; x1=1; x2=-1;
функция вогнутая на [-1;1], на остальных выпуклая;
функция не имеет асимптот;
f(-x)=6(-x)^2-(-x)^4/9=6x^2-x^4/9=f(x); - функция четная;
теперь ищем 0:
y=0;
6x^2-x^4/9=0;
6x^2=x^4;
x^2=6; x1=кор(6); х2=-кор(6);
x=0;
0/9=0;
y=0;
теперь строим график:

Answer 2

Для того, чтобы исследовать функцию и построить ее график, сначала нужно поделить многочлен на 9:

$\frac{6x^2-x^4}{9} = -\frac{1}{9}x^4 + \frac{2}{3}x^2$

Теперь мы можем приступить к исследованию функции. Найдем ее производную:

$-\frac{4}{9}x^3 + \frac{4}{3}x$

Чтобы найти экстремумы функции, решим уравнение:

$-\frac{4}{9}x^3 + \frac{4}{3}x = 0$

$-\frac{4}{9}x(x^2-3) = 0$

$x = 0$ или $x = \pm\sqrt{3}$.

Далее найдем вторую производную:

$-\frac{4}{3}x^2 + \frac{4}{3}$

Подставляя найденные ранее значения, получаем:

$f''(0) = \frac{4}{3} > 0$

$f''(\sqrt{3}) = -\frac{8}{3} < 0$

$f''(-\sqrt{3}) = -\frac{8}{3} < 0$

Значит, в точке $x=0$ функция имеет минимум, а в точках $x=\pm\sqrt{3}$ - максимумы.

Теперь найдем точки пересечения графика с осями координат:

$-\frac{1}{9}x^4 + \frac{2}{3}x^2 = 0$

$-\frac{1}{9}x^2(x^2-6) = 0$

$x=0$, $x=\pm\sqrt{6}$.

Таким образом, наше исследование функции дало следующие результаты:

• Область определения: все действительные числа.
• Область значений: от $-\infty$ до $\frac{2}{3}$.
• Нули функции: $x=0$, $x=\pm\sqrt{6}$.
• Экстремумы: минимум в точке $x=0$, максимумы в точках $x=\pm\sqrt{3}$.
• Поведение функции при $x\to\pm\infty$: $-\infty$.
• Четность функции: функция не является четной или нечетной.
• Асимптоты: нет.

Теперь построим график функции:

На графике видно, что функция имеет минимум в точке $x=0$, а максимумы в точках $x=\pm\sqrt{3}$. Также видно, что функция пересекает ось $x$ в точках $x=0$ и $x=\pm\sqrt{6}$, а ось $y$ - в точке $y=\frac{2}{