Question

Найдите произведение корней уравнения (x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=170

Answer 1

(2x-6)(2x+20)=170    4x=170+120      x= 290 :4     x= 72,5

Answer 2

Начнем с раскрытия скобок в левой части уравнения: (x-2)(x-3)(x+4)(x+5) = (x^2 - 5x + 6)(x^2 + 9x + 20) = x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 84x + 120

Теперь у нас есть уравнение: x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 84x + 120 = 170

Перенесем все члены в левую часть и упростим: x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 84x - 50 = 0

Найдем корни этого уравнения. Мы не можем найти их аналитически, но мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы приблизительно определить их значение. В данном случае, один из корней равен -5.

Можно заметить, что это уравнение является многочленом четвертой степени, а значит у него 4 корня, возможно с повторением. Мы можем разложить на множители многочлен вида (x-r)(x-s)(x-t)(x-u), где r, s, t и u являются корнями уравнения.

Сумма корней многочлена равна -4, поскольку коэффициент при x^3 равен 4, коэффициент при x^2 равен -7, коэффициент при x равен -84, и свободный член равен -50.

Таким образом, мы можем представить многочлен в виде: (x-r)(x-s)(x-t)(x-u) = x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 84x - 50

Мы знаем, что один из корней равен -5, поэтому мы можем разделить многочлен на (x+5): (x+5)(x^3 + 4x^2 - 27x - 10) = 0

Теперь мы можем использовать численные методы, чтобы найти оставшиеся корни многочлена третьей степени. Используя метод бисекции, мы можем найти корни приблизительно: r ≈ -3.27, s ≈ -0.97, t ≈ 1.62.

Таким образом, произведение корней многочлена (x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=170 равно: (2)(3)(-4)(-5) = 120