Question

Найдите общий вид первообразных f(x)=x-2x^5+cosx

Answer 1

Задача сводится к нахождениею неопределенного интеграла от заданой функции. найдем его:

 $\int{x-2x^5+cos(x)}\, dx= \\ = \int{x}\, dx-\int 2x^5\,dx+\int cos(x)}\, dx= \\ =\frac{x^2}{2}-2\cdot \frac{x^6}{6}+sinx(x)+C,\ \ \ C=const$

 

Теперь упростим полученное выражение:

 $\frac{x^2}{2}-2\cdot \frac{x^6}{6}+sin(x)+C= \\ =x^2(\frac{1}{2}-\frac{x^4}{3})+sin(x)+C= \\=\frac{x^2}{6} \cdot (3-2x^4)+sin(x)+C$

 

С это константа, за счет ее вариации и можно найти любую первообразную F(x) от f(x) 

 Ответ: $F(x)=\frac{x^2}{6} \cdot (3-2x^4)+sin(x)+C, \ \ \ C=const$

Answer 2

Чтобы найти общий вид первообразной функции f(x) = x - 2x^5 + cos(x), мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Заметим, что производная от cos(x) равна -sin(x), поэтому для функции F(x) мы можем выбрать:

F(x) = 1/2 x^2 - 2/6 x^6 + sin(x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Проверим, что производная от F(x) действительно равна f(x):

F'(x) = x - 2x^5 + cos(x) + C'

F'(x) = 1/2(2x) - 2/6(6x^5) + sin(x) + 0 = x - 2x^5 + cos(x)

Таким образом, общий вид первообразных функции f(x) = x - 2x^5 + cos(x) будет:

∫f(x)dx = 1/2 x^2 - 2/6 x^6 + sin(x) + C, где C - произвольная постоянная.