Question

СРОЧНО!! Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=8x-x^2-14 и прямой y=x-4

Answer 1

$\int\limits^5_2 {(8x-x^2-14-x+4)} \, dx =\int\limits^5_2 {(7x-x^2-10)} \, dx=(\frac{7x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-10x)^5_2=\frac{9}{2}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными кривыми, нам понадобится вычислить точки их пересечения. Затем мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади между этими точками.

1. Найдем точки пересечения параболы y=8x-x^2-14 и прямой y=x-4, приравняв их уравнения: 8x-x^2-14 = x-4

2. Приведем уравнение квадратного уравнения вида ax^2+bx+c=0: -x^2+7x-10 = 0

3. Решим квадратное уравнение с помощью факторизации или формулы дискриминанта: (-x+2)(x-5) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x=2 и x=5.

4. Чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения обратно в исходные уравнения: При x=2: y=2-4=-2 При x=5: y=5-4=1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (2, -2) и (5, 1).

5. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, с помощью определенного интеграла. Площадь будет представлена в виде разности интегралов двух функций:

Площадь = ∫(y2-y1)dx, где y2 - верхняя кривая, y1 - нижняя кривая.

Подставим значения уравнений: Площадь = ∫[(x-4)-(8x-x^2-14)]dx, от x=2 до x=5

Вычислим этот интеграл: Площадь = ∫(5x-x^2-10)dx, от x=2 до x=5

∫(5x-x^2-10)dx = [(5/2)x^2-(1/3)x^3-10x] от x=2 до x=5

Вычислим значения в пределах интегрирования: [(5/2)(5)^2-(1/3)(5)^3-10(5)] - [(5/2)(2)^2-(1/3)(2)^3-10(2)]

Подсчитаем значения: (125/2-(125/3)-50) - (10/2-(8/3)-20)

Упростим выражение: (125/2-125/3-50) - (20-8/3-20)

Вычислим численно: (375/6-250/6-300/6) - (120/6-