Question

Найдите последнюю цифру числа 7 в степени 2012. помогите пожалуста 

Answer 1

делается очень и очень просто.. последняя цифра определяется степенями последней цифры в числе, то есть цифрой 7 в вашем случае 
записываем последние цифры возведения в степень (^ и есть значок возведения в степень) 
0) 7^0=1 
1) 7^1=7 
2) 7^2=..9 
3) 7^3=..9*7=..3 
4) 7^4=..3*7=..1 
5) 7^5=..1*7=..7 
далее все будет повторяться (то есть 9, 3 и так далее) 
период повторения последней цифры равен 4, теперь осталось найти остаток от деления степени 4207 на 4 - он будет равен 3, что очевидно (4204 делится на 4 без остатка). 
значит последняя цифра от 2017^4207 будет (смотрим в таблицу на строку 3)) 3 

Answer 2

Чтобы найти последнюю цифру числа 7 в степени 2012, можно воспользоваться следующим наблюдением:

• Последняя цифра числа в степени n зависит только от последней цифры числа, возведенного в степень n.

Таким образом, чтобы найти последнюю цифру числа 7 в степени 2012, нужно найти остаток от деления 7^2012 на 10.

Для этого можно воспользоваться теоремой Эйлера, которая гласит, что если a и m взаимно просты, то a^(phi(m)) mod m = 1, где phi(m) - функция Эйлера, равная количеству натуральных чисел, меньших m и взаимно простых с ним.

Заметим, что 7 и 10 взаимно просты, поэтому 7^(phi(10)) mod 10 = 7^4 mod 10 = 1. Таким образом, 7^2012 mod 10 = (7^4)^503 mod 10 = 1^503 mod 10 = 1.

Ответ: последняя цифра числа 7 в степени 2012 равна 1.