Question

При каких n многочлен x^n-1 делится на x+1 без остатка?

Answer 1

Решение: Если многочлен x^n-1 делится на x+1 без остатка, то (х+1=0, х=-1) -1 является корнем многочлена x^n-1, а значит

(-1)^n-1=0

(-1)^n=1, что справедливо для любых парных n

Ответ: для любых парных n

Answer 2

Для того чтобы многочлен x^n - 1 был делится на x + 1 без остатка, необходимо и достаточно, чтобы его корень -1 был корнем кратности 1.

Многочлен x^n - 1 имеет n корней, которые являются n-тыми корнями из единицы, то есть:

1, e^(2πi/n), e^(4πi/n), ..., e^((n-1)πi/n)

Если мы подставим -1 в многочлен x^n - 1, то получим:

(-1)^n - 1

Если n четное, то (-1)^n - 1 будет равно 0, и значит, -1 будет корнем многочлена x^n - 1 кратности 1. В этом случае многочлен x^n - 1 будет делиться на x + 1 без остатка.

Если n нечетное, то (-1)^n - 1 будет равно -2, и значит, -1 не будет корнем многочлена x^n - 1. В этом случае многочлен x^n - 1 не будет делиться на x + 1 без остатка.

Таким образом, многочлен x^n - 1 будет делиться на x + 1 без остатка только тогда, когда n является четным числом.