Question

Известно что sina-cosa=1/2 НАйти sin^4a+cos^4a Помогите решить задачу

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Известно, что $\sin a - \cos a = \frac{1}{2}$.

Давайте возведём обе части этого равенства в квадрат: $(\sin a - \cos a)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Раскроем квадрат на левой стороне: $\sin^2 a - 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = \frac{1}{4}$.

Заметим, что $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ (это следует из тождества Пифагора). Также заметим, что $2 \sin a \cos a = \sin 2a$ (это следует из формулы двойного аргумента).

Заменим эти значения в уравнении: $1 - \sin 2a = \frac{1}{4}$.

Выразим $\sin 2a$ и приведём уравнение к виду: $\sin 2a = \frac{3}{4}$.

Теперь вспомним формулу для $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

Подставим $\theta = 2a$ и выразим $\cos^2 2a$: $\cos^2 2a = 1 - \sin^2 2a$.

Подставим значение $\sin 2a = \frac{3}{4}$: $\cos^2 2a = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2$.

Рассчитаем значение в скобках: $\cos^2 2a = 1 - \frac{9}{16}$.

Выполним вычитание: $\cos^2 2a = \frac{7}{16}$.

Так как мы ищем значение $\sin^4 a + \cos^4 a$, давайте выразим $\sin^4 a$ через $\cos 2a$: $\sin^4 a = \left(\sin^2 a\right)^2 = \left(1 - \cos^2 a\right)^2 = \left(1 - \frac{7}{16}\right)^2$.

Рассчитаем значение в скобках: $\sin^4 a = \left(\frac{9}{16}\right)^2 = \frac{81}{256}$.

Теперь найдём значение $\cos^4 a$ через $\cos 2a$: $\cos^4 a = \left(\cos^2 a\right)^2 = \left(\frac{7}{16}\right)^2 = \frac{49}{256}$.

Таким образом, $\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{81}{256} + \frac{49}{256} = \frac{130}{256} = \frac{65}{128}$.

Ответ: $\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{65}{128}$.