Question

|3x-5|+|3+2x|-2x|x+1|=0

Answer 1

$|3x-5|+|3+2x|-2x|x+1|=0.$

Если  $x \leq 0,$ первое слагаемое |3x-5| положительно, второе |3+2x| неотрицательно, третье слагаемое -2x|x+1| неотрицательно. Поэтому их сумма положительна, что означает, что при таких x решений нет.

Если x положителен, 3+2x положительно и x+1 положительно, поэтому второй и третий модули можно опустить. Получаем

$|3x-5|+3+2x-2x^2-2x=0;\ |3x-5|=2x^2-3.$

Если  $x \geq 5/3,$ модуль раскрывается с плюсом, получаем уравнение

$3x-5=2x^2-3;\ 2x^2-3x+2=0;\ D=9-16\ \textless \ 0\Rightarrow$ решений нет.

Если  $0$ модуль раскрывается с минусом, получаем уравнение 

$5-3x=2x^2-3;\ 2x^2+3x-8=0;\ x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{4}.$

Отрицательный корень отбрасываем сразу, положительный начинаем сравнивать с 5/3.

$\frac{-3+\sqrt{73}}{4}\ \textless \ \frac{-3+9}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\ \textless \ \frac{5}{3}.$

Поэтому это решение мы утверждаем.

Ответ:  $\frac{\sqrt{73}-3}{4}$

Answer 2

To solve the equation |3x - 5| + |3 + 2x| - 2x|x + 1| = 0, we'll need to consider different cases based on the signs of the expressions inside the absolute value brackets. Let's go step by step:

Case 1: (3x - 5) ≥ 0, (3 + 2x) ≥ 0, (x + 1) ≥ 0 In this case, the absolute value expressions can be removed, so the equation becomes: (3x - 5) + (3 + 2x) - 2x(x + 1) = 0

Simplifying this equation: 3x - 5 + 3 + 2x - 2x^2 - 2x = 0 5x - 2x^2 - 2x - 2 = 0 -2x^2 + 3x - 2 = 0

Case 2: (3x - 5) ≥ 0, (3 + 2x) ≥ 0, (x + 1) < 0 In this case, we have to consider the signs when removing the absolute values: (3x - 5) + (3 + 2x) + 2x(x + 1) = 0

Simplifying this equation: 3x - 5 + 3 + 2x + 2x^2 + 2x = 0 2x^2 + 7x - 2 = 0

Case 3: (3x - 5) ≥ 0, (3 + 2x) < 0, (x + 1) ≥ 0 In this case: (3x - 5) - (3 + 2x) - 2x(x + 1) = 0

Simplifying this equation: 3x - 5 - 3 - 2x - 2x^2 - 2x = 0 -2x^2 - x - 8 = 0

Case 4: (3x - 5) ≥ 0, (3 + 2x) < 0, (x + 1) < 0 In this case: (3x - 5) - (3 + 2x) + 2x(x + 1) = 0

Simplifying this equation: 3x - 5 - 3 - 2x + 2x^2 + 2x = 0 2x^2 + 3x - 8 = 0

Now, we can solve each of the quadratic equations obtained in the different cases to find the possible values of x.