Question

Докажите, что при любом n ∈ N значение выражения: а) (n-1)(n+12)-(n-3)(n+4) кратно 10б) (n+5)(n-6)-(n-2)(n+15) кратно 14​

Answer 1

Ответ:

1)

(n-1)(n+12)-(n-3)(n+4) ⋮ 10

Раскрываем скобки

n^2 +12*n -1*n -12 -n^2 -4*n +3*n +12 ⋮ 10

Приводим подобные слагаемые

10*n ⋮ 10

Если выражение содержит множитель 10, то оно по определению кратно 10 при всех натуральных N.

2)

(n+5)(n-6)-(n-2)(n+15) ⋮ 14

Раскрываем скобки

n^2 -6*n +5*n -30 -n^2 -15*n +2*n +30 ⋮ 10

Приводим подобные слагаемые

-14*n ⋮ 10

-n *14 ⋮ 10

Если выражение содержит множитель 14, то оно по определению кратно 14 при всех натуральных N.

Answer 2

Для доказательства этих утверждений воспользуемся методом математической индукции.

а) Доказательство кратности 10 выражения (n-1)(n+12) - (n-3)(n+4) для любого n ∈ N:

Шаг 1: Проверка базы индукции При n = 1, выражение принимает значение: (1-1)(1+12) - (1-3)(1+4) = 0 - (-2)(5) = 10. Таким образом, база индукции верна.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что выражение (k-1)(k+12) - (k-3)(k+4) кратно 10 для некоторого k ∈ N.

Шаг 3: Доказательство индукционного перехода Докажем, что выражение ((k+1)-1)((k+1)+12) - ((k+1)-3)((k+1)+4) также кратно 10.

Раскроем скобки в данном выражении: (k)(k+13) - (k-2)(k+5) = k^2 + 13k - (k^2 + 5k - 2k - 10) = 13k + 2k - 10

Объединяя коэффициенты при k, получаем: 15k - 10

Это выражение является кратным 10, так как 15k - 10 = 10(1.5k - 1), где (1.5k - 1) является целым числом.

Таким образом, с помощью принципа математической индукции можно утверждать, что выражение (n-1)(n+12) - (n-3)(n+4) кратно 10 для любого n ∈ N.

б) Доказательство кратности 14 выражения (n+5)(n-6) - (n-2)(n+15) для любого n ∈ N:

Шаг 1: Проверка базы индукции При n = 1, выражение принимает значение: (1+5)(1-6) - (1-2)(1+15) = 6*(-5) - (-1)*16 = -30 + 16 = -14. Таким образом, база индукции верна.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что выражение (k+5)(k-6) - (k-2)(k+15) кратно 14 для некоторого k ∈ N.

Шаг 3: Доказательство индукционного перехода Докажем, что выражение ((k+1)+5)((k+1)-6) - ((k+1)-2)((k+1)+