Question

Подскажите, как решить, пожалуйста sin x - cos x = 1

Answer 1

Метод введения вспомогательного угла - под использование формулы синус суммы, синус разности, косинус суммы, или косинус разности

====================
общая логика преображения ниже
$Asin x+Bcos x=$
$\sqrt{A^2+B^2}*\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}sin x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}cos x=$
$\sqrt{A^2+B^2}(cos \phi sin x+sin \phi cos x)=\sqrt{A^2+B^2}*sin (x+\phi)$
где $\phi=arctg \frac{B}{A}$

собственно уравнение
$sin x-\sqrt{3}cos x=1$
Умножим и разделим левую часть на 2
(так как $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$
получим
$2*(\frac{1}{2}sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos x)=1$
или
$cos \frac{\pi}{3}sin x-sin \frac{\pi}{3}cos x=\frac{1}{2}$
$sin (x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$
$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^k*arsin \frac{1}{2}+\pi*k$
$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^k*\frac{\pi}{6}+\pi*k$
k є Z

Answer 2

Для решения уравнения sin x - cos x = 1, мы можем применить несколько алгебраических преобразований и тригонометрических идентичностей. Вот пошаговое решение:

1. Используем тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы преобразовать уравнение. Домножим уравнение на sqrt(2), чтобы избавиться от дроби:

   sqrt(2) * (sin x - cos x) = sqrt(2) * 1

   sqrt(2) * sin x - sqrt(2) * cos x = sqrt(2)

2. Применим тригонометрические идентичности для sin(x ± π/4), чтобы упростить левую часть уравнения:

   sqrt(2) * sin x - sqrt(2) * cos x = sqrt(2) * sin(x + π/4)

3. Подставим x + π/4 = y, чтобы сделать замену переменной:

   sqrt(2) * sin(x + π/4) = sqrt(2) * sin y

4. Получим новое уравнение:

   sqrt(2) * sin y = sqrt(2)

5. Разделим обе части уравнения на sqrt(2):

   sin y = 1

6. Найдем все значения y, удовлетворяющие sin y = 1. Это происходит, когда y = π/2 + 2πn, где n - целое число.

7. Вернемся к исходной переменной x:

   x + π/4 = π/2 + 2πn

   x = π/2 - π/4 + 2πn

   x = π/4 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, все значения x, удовлетворяющие уравнению sin x - cos x = 1, можно записать в виде x = π/4 + 2πn, где n - целое число.