Question

Найти предел функций:1)lim(x->∞) (x^4+3 x^2-5x)/(x^2+2)^2 2)lim(x->0) sin(2x^3)/x^3*sqrt(x+10)

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^4+3x^2-5x}{(x^2+2)^2}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^4+3x^2-5x}{x^4+4x^2+4}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^4}{x^4}+\frac{3x^2}{x^4}-\frac{5x}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4}+\frac{4x^2}{x^4}+\frac{4}{x^4}}=\frac{1+0-0}{1+0+0}=\\=\frac 11=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{sin(2x^3)}{x^3*\sqrt{x+10}}= \lim_{x \to 0} \frac{2x^3}{x^3*\sqrt{x+10}}=\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x+10}}=\frac{2}{\sqrt{0+10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}5$

Answer 2

Давайте найдем пределы для данных функций.

1. Найдем предел функции при x стремящемся к бесконечности: lim(x->∞) (x^4 + 3x^2 - 5x)/(x^2 + 2)^2

Для начала, раскроем скобки в знаменателе: lim(x->∞) (x^4 + 3x^2 - 5x)/(x^4 + 4x^2 + 4)

Разделим числитель и знаменатель на x^4, так как это самый высокий степенной член: lim(x->∞) (1 + 3/x^2 - 5/x^3)/(1 + 4/x^2 + 4/x^4)

Теперь, когда x стремится к бесконечности, все слагаемые со знаменателями, содержащими x в степени, стремятся к 0. Получаем: lim(x->∞) (1 + 0 - 0)/(1 + 0 + 0) = 1/1 = 1

Таким образом, предел функции при x стремящемся к бесконечности равен 1.

2. Найдем предел функции при x стремящемся к 0: lim(x->0) sin(2x^3)/(x^3 * sqrt(x + 10))

Мы видим, что в числителе функции у нас стоит тригонометрическая функция sin, а в знаменателе стоит произведение куба x и квадратного корня из выражения (x + 10).

Для начала, заметим, что sin(0) = 0, поэтому числитель функции стремится к 0 при x стремящемся к 0.

Теперь рассмотрим знаменатель. Если x стремится к 0, то выражение (x + 10) также стремится к 10. Так как корень из 10 является константой, то предел sqrt(x + 10) будет равен sqrt(10).

Таким образом, предел знаменателя x^3 * sqrt(x + 10) при x стремящемся к 0 равен 0 * sqrt(10) = 0.

Итак, мы получили 0 в числителе и 0 в знаменателе. В такой ситуации, можно применить правило Лопиталя (правило вычисления предела неопределенности 0/0), взяв производную числителя и знаменателя и вычислив их пределы:

lim(x->0) sin(2x^3)/(x^3 * sqrt(x + 10)) = lim(x->0) (6x^2 * cos(2x^3))/(3x^2 * sqrt(x + 10))

Упрощаем выражение: lim(x->