Question

Сократите дробь: Решите иррациональное уравнение, возведением обеих частей уравнения в одну и ту же степень: √(х-1)+√(2х+6)=6.

Answer 1

$1. \\ \dfrac{5a^2-a-4}{a^3-1} = \dfrac{5a^2-a-4}{(a-1)(a^2+a+1)} \\ \\ \\ 5a^2-a-4=0 \\ D=1+80=9^2 \\ a_1= \dfrac{1-9}{10}= -\dfrac{4}{5} \\ a_2= \dfrac{1+9}{10}=1 \\ \\ \\ \dfrac{5a^2-a-4}{(a-1)(a^2+a+1)}= \dfrac{(a-1)(5a+4)}{(a-1)(a^2+a+1)}= \dfrac{5a+4}{a^2+a+1} \\ \\ 2. \\ \sqrt{x-1}+ \sqrt{2x+6}=6 \\ 3x+5+2 \sqrt{2x^2+4x-6}=36 \\ 2 \sqrt{2x^2+4x-6}=31-3x \\ 8x^2+16x-24=9x^2-186x+961 \\ x^2-202x+985=0 \\ \frac{D}{4} =10201-985=9216=96^2 \\ x_1=101-96=5 \\ x_2=101+96=197$
Во второй раз мы возводили в квадрат с возможностью лишнего корня, значит нужно выполнить проверку корней.

$\sqrt{5-1}+ \sqrt{10+6} =2+4=6$ - подходит

$\sqrt{197-1} + \sqrt{394+6}=14+20=34$ - не подходит

Ответ: x=5

Answer 2

Для решения данного иррационального уравнения возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(√(х-1) + √(2х+6))^2 = 6^2

(x - 1) + 2√((х - 1)(2х + 6)) + (2х + 6) = 36

Упростим уравнение:

2√((х - 1)(2х + 6)) + 3х + 5 = 36

Теперь изолируем корень:

2√((х - 1)(2х + 6)) = 36 - 3х - 5

2√((х - 1)(2х + 6)) = 31 - 3х

Возведем обе части уравнения в квадрат еще раз:

4(х - 1)(2х + 6) = (31 - 3х)^2

Раскроем скобки и упростим уравнение:

8х^2 + 4х - 24х - 24 = 9х^2 - 186х + 961

Перенесем все члены в одну сторону и упростим:

9х^2 - 8х^2 - 4х + 24х - 186х + 961 + 24 = 0

x^2 - 166х + 985 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня, дискриминанта или факторизации. Однако, решение данного уравнения приводит к иррациональным значениям. Если вас интересуют именно эти значения, то можно применить методы решения квадратных уравнений.