Question

Докажите , что при любом натуральном значении n выражение n^4+3n^3-n^2-3n делится на 6.

Answer 1

Решаем с помощью подстановки.
представляем "n" как "2".
решаем:
2^4+3*2^3-2^2-3*2=16+24-4-6=30
проверяем и делим 30 на 6= 5 (правильно)
можно представить "n" как "4"
4^4+3*4^3-4^2-3*4=256+192-16-12=420
делим полученную сумму на "6" : 420:6=70.
вот и доказали :)

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $n^4 + 3n^3 - n^2 - 3n$ делится на 6 при любом натуральном значении $n$, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При $n = 1$ выражение принимает значение: $1^4 + 3 \cdot 1^3 - 1^2 - 3 \cdot 1 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0$ 0 делится на 6 без остатка, поэтому базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что при некотором натуральном значении $k$ выражение $k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k$ делится на 6.

Шаг 3: Доказательство для $n = k + 1$ Мы должны показать, что выражение $(k + 1)^4 + 3(k + 1)^3 - (k + 1)^2 - 3(k + 1)$ также делится на 6.

Разложим выражение в более простую форму: $(k + 1)^4 + 3(k + 1)^3 - (k + 1)^2 - 3(k + 1)$ = $k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 3(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k^2 + 2k + 1) - 3k - 3$ = $k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 3k^3 + 9k^2 + 9k + 3 - k^2 - 2k - 1 - 3k - 3$ = $k^4 + 3k^3 + 5k^2 + 8k$.

Теперь рассмотрим остаток от деления этого выражения на 6: $k^4 + 3k^3 + 5k^2 + 8k \equiv (k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k) + (6k^2 + 6k)$.

Мы знаем, что $k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k$ делится на 6 (по предположению индукции), и $6k^2 + 6k$ также делится на 6, так как содержит множитель 6.

Следовательно, сумма $k^4 + 3k^3 + 5k^2 + 8k$ также делится на 6.

Шаг 4: Заключение Из базового случая и шага 3, используя принцип математической индукции, мы показали, что при любом нат