Question

5 sin²x+1,5 sin²x меньше или равно 2 cos²x+3

Answer 1

$></p> <p><img src=$

Первая система не имеет решений т.к. $cos^2x+sin^2x=1$ по основ. тригон. тожд., а у нас получается, что равно 0 и так же квадрат не может быть меньше 0. Тогда решаем вторую систему.

$\left \{ {{cosx\neq 0} \atop {\frac{7}{2}tg^2x-5\leq 0 }} \right.$ Знак не поменялся т.к. квадрат всегда положительный (если что я поделил на $cos^2x$)

$\left \{ {{cosx\neq 0} \atop {tg^2x\leq 10/7}} \right. \\\left \{ {{cosx\neq 0} \atop {-\sqrt{\frac{10}{7} }\leq tgx\leq \sqrt{\frac{10}{7} } }} \right.$

Ответ: x∈[-arctg($\sqrt{\frac{10}{7} }$)+pi*n;arctg($\sqrt{\frac{10}{7} }$)+pi*n], n∈Z

Answer 2

Давайте преобразуем неравенство и проверим его. У нас дано:

5 sin²x + 1.5 sin²x ≤ 2 cos²x + 3

Объединим коэффициенты перед sin²x:

6.5 sin²x ≤ 2 cos²x + 3

Перенесём все члены в одну сторону:

6.5 sin²x - 2 cos²x ≤ 3

Используем формулу тригонометрии sin²x + cos²x = 1:

6.5 sin²x - 2 (1 - sin²x) ≤ 3

6.5 sin²x - 2 + 2 sin²x ≤ 3

Сгруппируем подобные члены:

8.5 sin²x - 2 ≤ 3

Добавим 2 к обеим сторонам:

8.5 sin²x ≤ 5

Разделим обе стороны на 8.5:

sin²x ≤ 5/8.5

sin²x ≤ 0.5882

Так как sin²x не может быть больше 1, то это неравенство всегда верно для любых значений x.

Итак, исходное неравенство 5 sin²x + 1.5 sin²x ≤ 2 cos²x + 3 верно для любых значений x.