Question

Решить уравнение: √1,5sin(x) + cos(x) = 0 ((Корень из 1,5 синуса x) + косинус x = 0).

Answer 1

$\sqrt{1,5sinx} + cosx = 0 \\ \\ \sqrt{1,5sinx} = -cosx \\ \\ -cosx \geq 0 \\ \\ cosx \leq 0 \\ \\ \dfrac{ \pi }{2} + 2 \pi n \leq x \leq \dfrac{3 \pi }{2} + 2 \pi n, \ n \in Z \\ \\ 1,5sinx = cos^2x \\ \\ 1,5sinx = 1 - sin^2x \\ \\ sin^2x + 1,5sinx - 1 = 0 \\ \\ 2sin^2x + 3sinx - 2 = 0$

Пусть  $t = sinx, \ t \in [-1; \ 1]$

$2t^2 + 3t - 2 = 0 \\ \\ D = 9 + 2 \cdot 2 \cdot 4 = 25 = 5^2 \\ \\ t_1 = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \\ t_2 = \dfrac{-3 - 5}{4} = -2 \ - \ ne \ \ ed.$

Обратная замена:

$sinx = \dfrac{1}{2} \\ \\ x = (-1)^n \dfrac{ \pi }{6} + \pi n, \ n \in Z$

Перепишем в другом виде:

$x = \dfrac{ \pi }{6} + 2 \pi n, \ n \in Z \\ \\ x = \dfrac{5 \pi }{6} + 2 \pi n, \ n \in Z$

ОДЗ удовлетворяет вторая форма.

Ответ:  $x = \dfrac{5 \pi }{6} + 2 \pi n, \ n \in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны изолировать переменную x. В данном случае, мы можем использовать алгебраические преобразования, чтобы привести его к более простой форме.

Давайте начнем с исходного уравнения:

√(1.5sin(x)) + cos(x) = 0

Сначала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(√(1.5sin(x)))^2 + (cos(x))^2 + 2√(1.5sin(x))cos(x) = 0

1.5sin(x) + cos^2(x) + 2√(1.5sin(x))cos(x) = 0

Теперь выразим sin(x) через cos(x) с использованием тригонометрической идентичности sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1.5(1 - cos^2(x)) + cos^2(x) + 2√(1.5(1 - cos^2(x)))cos(x) = 0

1.5 - 1.5cos^2(x) + cos^2(x) + 2√(1.5 - 1.5cos^2(x))cos(x) = 0

0.5 - 0.5cos^2(x) + 2√(1.5 - 1.5cos^2(x))cos(x) = 0

Теперь введем новую переменную t = cos(x):

0.5 - 0.5t^2 + 2√(1.5 - 1.5t^2)t = 0

Перепишем уравнение:

2√(1.5 - 1.5t^2)t - 0.5t^2 + 0.5 = 0

2√(1.5 - 1.5t^2)t = 0.5t^2 - 0.5

Разделим обе части уравнения на t (заметим, что t ≠ 0, так как t = cos(x)):

2√(1.5 - 1.5t^2) = 0.5t - 0.5/t

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

4(1.5 - 1.5t^2) = 0.25t^2 - 0.5t + 0.25/t^2

6 - 6t^2 = 0.25t^2 - 0.5t + 0.25/t^2

Перенесем все члены в одну сторону:

6t^2 + 0.25t^2 - 0.5t + 0.25/t^2 - 6 = 0

6.25t^2 - 0.5t + 0.25/t^2 - 6 = 0

Теперь у нас получилось уравнение вида at^2 + bt + c/t^2 - d = 0, где a