Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной функциями y=1+sin(x) y=0 x=0 x=2П

Answer 1

чначала надо начертить, найти границы интегрирования. по скольку у нас площадь фигуры от 0 до п равна площади фигуры от п до 2п, то можно найти сначала площадь фигуры от 0 до п и умножить на 2

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной функциями y = 1 + sin(x), y = 0, x = 0 и x = 2π, мы должны найти интеграл от разности функций по оси x в заданных пределах.

Сначала найдем точки пересечения функций y = 1 + sin(x) и y = 0:

0 = 1 + sin(x) sin(x) = -1 x = π

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (π, 0).

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить следующим образом:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - пределы интегрирования, f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

В данном случае, верхняя функция f(x) = 1 + sin(x), а нижняя функция g(x) = 0. Пределы интегрирования a = 0 и b = 2π.

S = ∫[0,2π] (1 + sin(x) - 0) dx = ∫[0,2π] (1 + sin(x)) dx

Чтобы вычислить этот интеграл, распишем его:

S = ∫[0,2π] dx + ∫[0,2π] sin(x) dx

Первый интеграл от dx по пределам [0, 2π] равен просто разности пределов:

S = [x]₀²π + ∫[0,2π] sin(x) dx

Второй интеграл равен -cos(x) при интегрировании sin(x):

S = [x]₀²π - [cos(x)]₀²π

Подставляем пределы:

S = 2π - (-cos(2π) - (-cos(0))) = 2π - (1 - 1) = 2π - 0 = 2π

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной функциями y = 1 + sin(x), y = 0, x = 0 и x = 2π, равна 2π.