Question

Дорогие эксперты! Пожалуйста решите пример по алгебре: Найдите производную функции f(x)= корень из ctg*(5X^2-7)

Answer 1

$y'( \sqrt{ctg(5x^2-7)})=(ctg(5x^2-7)^{ \frac{1}{2}})'= \frac{1}{2}ctg (5x^2-7)^{- \frac{1}{2}}( -\frac{1}{sin^2(5x^2-7)})\cdot 10x =$

$= -\frac{1}{2}\cdot10x\cdot \frac{1}{(ctg(5x^2-7))^{ \frac{1}{2}}}\cdot \frac{1}{\sin^2(5x^2-7)} =\\\\ =-\frac{5x}{ \sqrt{ctg(5x^2-7)}\sin^2(5x^2-7) }$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = √ctg(5x^2 - 7) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции (chain rule) гласит: если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их композиции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) на производную внутренней функции g'(x), то есть (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).

Давайте разобьем нашу функцию f(x) на две составляющие:

g(x) = 5x^2 - 7 f(u) = √ctg(u)

Тогда f(x) = f(g(x)) = √ctg(5x^2 - 7).

Для нахождения производной f(x) применим правило дифференцирования сложной функции:

f'(x) = f'(g(x)) * g'(x).

Теперь найдем производные каждой составляющей.

Производная внешней функции f'(u) = √ctg(u)'.

Для нахождения производной √ctg(u) воспользуемся правилом дифференцирования функции √u, где u = ctg(u):

(f(u))' = (√u)' = (1/2)u^(-1/2) * u'.

Теперь найдем производную внутренней функции g'(x) = (5x^2 - 7)'.

Производная (5x^2 - 7)' равна 10x.

Теперь подставим найденные производные в наше выражение для f'(x):

f'(x) = (√ctg(u))' * (5x^2 - 7)' = (1/2)(ctg(u))^(-1/2) * ctg(u)' * 10x.

Поскольку ctg(u) = ctg(5x^2 - 7), нам необходимо найти производную ctg(5x^2 - 7).

Производная ctg(5x^2 - 7) равна -10x * csc^2(5x^2 - 7), где csc(x) - косеканс, обратная функция к синусу (csc(x) = 1/sin(x)).

Теперь, подставив найденные производные, получим окончательное выражение для производной f'(x):

f'(x) = (1/2)(ctg(5x^2 - 7))^(-1/2) * (-10x * csc^2(5x^2 - 7)) * 10x.

Итак, производная функции f(x) равна:

f'(x) = -5x^2 *