Question

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если: один из его корней равен 2 + √5

Answer 1

(2 + √5) (2 - √5) = -1

(2 + √5) + (2 - √5) = 4

х²-4х-1 = 0

Проверка

(2 + √5) ² - 4(2 + √5) -1 = 4 + 4√5 + 5 - 8 - 4√5 - 1 = 0

Answer 2

Чтобы составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, имея один из его корней равным 2 + √5, мы можем использовать свойство корней квадратных уравнений. Если корень равен r, то (x - r) является одним из множителей уравнения.

В данном случае, если один из корней равен 2 + √5, то (x - (2 + √5)) будет одним из множителей.

(x - (2 + √5)) * (x - ?) = 0

Чтобы найти второй корень, мы можем использовать свойство суммы корней квадратного уравнения. Сумма корней равна отрицательному коэффициенту при x в уравнении, деленному на коэффициент при x^2. Таким образом, сумма корней должна быть -b/a.

В нашем случае, сумма корней будет равна:

2 + √5 + ? = -b/a

Чтобы сумма корней была равна -b/a, второй корень должен быть -2 - √5. Таким образом, вторым множителем будет (x - (-2 - √5)).

(x - (2 + √5)) * (x - (-2 - √5)) = 0

Раскрывая скобки, получим:

(x - 2 - √5)(x + 2 + √5) = 0

Домножим на (x - 2 + √5)(x + 2 - √5), чтобы получить квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

(x - 2 - √5)(x + 2 + √5)(x - 2 + √5)(x + 2 - √5) = 0

Упростив это уравнение, получим:

(x^2 - (2 + √5)^2)(x^2 - (2 - √5)^2) = 0

(x^2 - (4 + 4√5 + 5))(x^2 - (4 - 4√5 + 5)) = 0

(x^2 - 9 - 4√5)(x^2 - 9 + 4√5) = 0

Итак, квадратное уравнение с целыми коэффициентами, в котором один из корней равен 2 + √5, будет:

(x^2 - 9 - 4√5)(x^2 - 9 + 4√5) = 0