Question

Объем пирамиды SABC равен 54. На ребрах SA, АВ и АС взяты точки М, N и Р соответственно так, что SM:MA=BN:NA=CP:PA=1:2. Найдите объем пирамиды МАNP.

Answer 1

Рёбра пирамиды МАNP соcтавляют 2/3 от рёбер пирамиды  SABC.
Объемы  двух подобных тел  относятся как кубы  их соответствующих линейных размеров.
Тогда V(MANP) = (2/3)³*54 = (8/27)*54 = 8*2 = 16 куб.ед.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся пропорциональностью объёмов пирамид, основанных на соотношении объёмов сходных тел.

Первое замечание, которое следует сделать, заключается в том, что отношение объёмов двух сходных пирамид равно кубу отношения длин их соответствующих рёбер. Исходя из этого, можем предположить, что объём пирамиды МАNP также пропорционален кубу отношения длин соответствующих рёбер пирамид SABC и МАNP.

Обозначим отношение длины ребра MA к ребру SA как k (k = MA / SA). Тогда отношение длин рёбер MN и SM будет также равно k (MN / SM = k) и (SM / SA = k).

Также дано, что SM : MA = 1 : 2, поэтому k = 1/2.

Заметим, что отношение объёмов двух сходных пирамид также равно кубу отношения их высот. Пирамида SABC и пирамида МАNP сходны, поэтому:

(V(MANP) / V(SABC)) = (h(MANP) / h(SABC))^3

Найдем отношение высот пирамид:

h(MANP) / h(SABC) = (MA / SA)

Так как k = MA / SA = 1/2, то:

h(MANP) / h(SABC) = 1/2

Теперь возьмем куб этого отношения:

(h(MANP) / h(SABC))^3 = (1/2)^3 = 1/8

Таким образом, мы получаем, что объем пирамиды МАNP составляет 1/8 объема пирамиды SABC.

Объем пирамиды SABC равен 54, значит:

V(MANP) = (1/8) * V(SABC) = (1/8) * 54 = 6.75

Ответ: объем пирамиды МАNP равен 6.75.