Question

Задания по алгебре 10 класс, доказать справедливость (a^2+1)(a^6+1)(a^12+1)>=8a^10 Для любого действтельного a

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Все оказалось проще, чем я думал. Раскроем все скобки слева. Конечно, не самое лучшее дело, но все же:
$a^{20} + a^{18}+ a^{14}+ a^{12} + a^{8}+a^{6}+a^2+1\ \textgreater \ =8 a^{10}$
Теперь представим это неравенство, как сумму четырех неравенств:
1) $a^{20}+1\ \textgreater \ = 2a^{10}$
$(a^{10}-1)^{2}\ \textgreater \ =0$ - верное неравенство
2) $a^{18}+a^{2}\ \textgreater \ = 2a^{10}$
$a^{2}(a^{8}-1)^{2}\ \textgreater \ =0$ - верное неравенство
3) $a^{14}+a^{6}\ \textgreater \ = 2a^{10}$
$a^{6}(a^{4}-1)^{2}\ \textgreater \ =0$ - верное неравенство
4) $a^{12}+a^{8}\ \textgreater \ = 2a^{10}$
$a^{8}(a^{2}-1)^{2}\ \textgreater \ =0$ - верное неравенство

Если все эти равенства сложить, должно тоже получиться верное равенство - его-то нам и надо было доказать. Все готово!

Answer 3

Давайте рассмотрим данное неравенство и попытаемся его доказать.

Дано неравенство: (a^2 + 1)(a^6 + 1)(a^12 + 1) ≥ 8a^10

Раскроем скобки слева:

(a^2 + 1)(a^6 + 1)(a^12 + 1) = a^2 * a^6 * a^12 + a^2 * a^6 + a^2 * a^12 + a^6 * a^12 + a^2 + a^6 + a^12 + 1

Обратим внимание, что для любого действительного числа a, все степени a в данном выражении неотрицательны.

Заметим, что каждое слагаемое в получившемся выражении неотрицательно, так как все степени a неотрицательны и добавление 1 не меняет их знак. Следовательно, каждое слагаемое не меньше нуля.

Теперь рассмотрим последнее слагаемое: 1. Очевидно, что 1 ≥ 0.

Таким образом, каждое слагаемое в левой части неравенства не меньше нуля, поэтому их сумма также не меньше нуля.

Теперь докажем, что выражение в правой части неравенства, 8a^10, также неотрицательно.

Для этого заметим, что a^10 является произведением неотрицательных чисел (так как a^2 - неотрицательное число и его степень также неотрицательна).

Таким образом, 8a^10 является произведением числа 8 (которое также неотрицательно) и a^10, которое неотрицательно.

Итак, мы доказали, что и левая, и правая части неравенства неотрицательны.

Таким образом, неравенство (a^2 + 1)(a^6 + 1)(a^12 + 1) ≥ 8a^10 справедливо для любого действительного a.