Question

Докажите неравенство d^3+1≥d^2+d  при d≥-1

Answer 1

D^3-d^2-d+1>=0
(x-1)(x-1)(x+1)>=0
Методом интервалов на числовой оси отмечаем точки (-1) и (1)
Расставляем знаки - справа от 1 ставим плюс, между -1 и 1 ставим плюс, слева от -1 ставим минус.
Чтд.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства при условии $d \geq -1$, мы можем использовать алгебраические преобразования.

Исходное неравенство: $d^3 + 1 \geq d^2 + d$

Вычтем $d^2 + d$ с обеих сторон: $d^3 + 1 - (d^2 + d) \geq 0$

Упростим левую часть: $d^3 - d^2 - d + 1 \geq 0$

Раскроем скобки: $d^3 - d^2 - d + 1 \geq 0$

Теперь докажем это неравенство для $d \geq -1$ путем анализа знаков.

1. Рассмотрим случай, когда $d = -1$. Подставим $d = -1$ в левую часть: $(-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$

2. Рассмотрим случай, когда $d > -1$. В этом случае все слагаемые положительны. Таким образом, каждое слагаемое $d^3$, $-d^2$, $-d$, и $1$ положительно для $d > -1$. Следовательно, их сумма также положительна.

Таким образом, для всех $d \geq -1$ выполняется неравенство $d^3 + 1 \geq d^2 + d$.