Question

Lim (x->0) ((sin (3x)) /( sqrt( x+2) -sqrt(2)))предел, нужна помощь! пожалуйста.. 

Answer 1

$\frac{\lim }{x->0}\ \frac{sin 3x}{ \sqrt{ x+2} -\sqrt{2}}=\frac{0}{0}=\frac{\lim }{x->0}\ \frac{sin 3x(\sqrt{ x+2} +\sqrt{2})}{ (\sqrt{ x+2} -\sqrt{2})(\sqrt{ x+2} +\sqrt{2})}=\\\\=\frac{\lim }{x->0}\ \frac{sin 3x(\sqrt{ x+2} ^{\ \vec{}\ \sqrt{2} } +\sqrt{2})}{ x+2-2} = \\\\=\frac{\lim }{x->0}\ \frac{sin 3x\ 2\sqrt{2}}{ x} = 2\sqrt{2}\ \frac{\lim }{x->0}\ \frac{ 3x}{ x}= 3*2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Answer 2

Чтобы вычислить предел $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}}$, мы можем применить некоторые алгебраические преобразования. Воспользуемся известным тождеством $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, чтобы устранить корни из знаменателя.

Мы можем умножить и разделить на выражение $\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}$, чтобы получить:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x) \cdot (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}}{{(\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}}.$$

Это даст нам:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x) \cdot (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}}{{x + 2 - 2}}.$$

Сокращаем $\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}$ с $x + 2 - 2$:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{x}} \cdot \frac{{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}}}{{1}}.$$

Теперь у нас есть два отдельных предела для рассмотрения:

1. Предел $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{x}}$. Это хорошо известный предел и равен 3. Вы можете увидеть это, применяя лопитальное правило или используя геометрическую интерпретацию производной синуса.

2. Предел $\lim_{{x \to 0}} (\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})$. Подставляя $x = 0$, получаем $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь мы можем перемножить эти два предела:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{x}} \cdot \frac{{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}}}{{1}} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.$$

Таким образом, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin }{}$