Question

X^4=-20 Решите уравнение пожалуйста!!!

Answer 1

$x^{4}=-20 x=z z^{4} = -20 z= re^{iy} r^{4} e^{4iy} = -20 r = \sqrt[4]{5} \sqrt{2} isin(4y)+cos(4y)= - 1 cos(4y) = - 1 sin(4y) = 0 y= \pi N/2 + \pi /4 z1= x1= - \sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{-5i} = (-1-i) \sqrt[4]{5} z2= x2 = -\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{5i} = (-1+i) \sqrt[4]{5} z3=x3 = \sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5i} = (1-i) \sqrt[4]{5} z4= x4 = \sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{5i} = (1+i) \sqrt[4]{5}$

Answer 2

Чтобы решить уравнение x^4 = -20, можно использовать комплексные числа.

Для начала, заметим, что -20 можно представить в виде произведения комплексного числа и его сопряженного числа: -20 = 2i * (-2i).

Теперь мы можем записать уравнение в виде: x^4 = 2i * (-2i).

Чтобы найти корни уравнения, возведем обе стороны в 1/4 степень: (x^4)^(1/4) = (2i * (-2i))^(1/4).

Теперь применим формулу для извлечения четвертого корня комплексного числа: x = ±((2i * (-2i))^(1/4)).

Раскрывая выражение в скобках, получаем: x = ±(2^(1/4) * i^(1/4) * (-2)^(1/4)).

Корни четвертого степени из 2, -2 и i могут быть представлены в виде комплексных чисел: 2^(1/4) = √2 * (cos(π/8) + i * sin(π/8)), (-2)^(1/4) = √2 * (cos(5π/8) + i * sin(5π/8)), i^(1/4) = cos(π/8) + i * sin(π/8).

Теперь можем записать корни уравнения: x = ±(√2 * (cos(π/8) + i * sin(π/8))) * (√2 * (cos(5π/8) + i * sin(5π/8))).

Упростим выражение: x = ±2 * (cos(π/8) + i * sin(π/8)) * (cos(5π/8) + i * sin(5π/8)).

Мы получили четыре различных значения для x. Воспользуемся формулой Де Муавра для упрощения выражения: x = ±2 * cos((π/8) + (5π/8)) + i * sin((π/8) + (5π/8)), x = ±2 * cos((π/8) - (5π/8)) + i * sin((π/8) - (5π/8)), x = ±2 * cos((π/8) + π + (5π/8)) + i * sin((π/8) + π + (5π/8)), x = ±2 * cos((π/8) - π + (5π/8)) + i * sin((π/8) - π + (5π/8)).

Упрощая каждое выражение, получаем: x = ±2 * cos(π) + i * sin(π), x = ±2 * cos(-2π/8) + i * sin(-2π/8), x = ±2 * cos(2π) + i * sin(2π), x = ±2 * cos(4π/8) + i * sin(