Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями: a) y= -x^2+4,y=0.  б)y=-x^2+3,y=2.

Answer 1

$1)\; \; -x^2+4=0\; \; \to \; \; x^2=4\; ,\; \; x=\pm 2\\\\S=\int\limits_{-2}^2(-x^2+4)\, dx=(-\frac{x^3}{3}+4x)\Big |^2_{-2}=-\frac{8}{3}+8-(+\frac{8}{3}-8)=\\\\=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}\\\\2)\; \; -x^2+3=2\; \; \to \; \; x^2=1\; ,\; \; x=\pm 1\\\\S= \int\limits^1_{-1}(-x^2+3-2) \, dx=\int\limits^1_{-1}(-x^2+1)\, dx=(-\frac{x^3}{3}+x)\Big |_{-1}^1=\\\\=-\frac{1}{3}+1-(\frac{1}{3}-1)=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

Answer 2

а) Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 0, нам нужно найти точки пересечения этих двух линий. Подставим y = 0 в уравнение y = -x^2 + 4:

0 = -x^2 + 4

x^2 = 4

x = ±2

Таким образом, точки пересечения равны (-2, 0) и (2, 0).

Интегрируем функцию y = -x^2 + 4 по отрезку [-2, 2], чтобы найти площадь фигуры:

Площадь = ∫[a, b] (-x^2 + 4) dx

= ∫[-2, 2] (-x^2 + 4) dx

= [(-x^3/3 + 4x) ]|[-2, 2]

= [(-8/3 + 8) - (8/3 - 8)]

= (16/3 - 8/3) + (24/3 - 8/3)

= 8/3 + 16/3

= 24/3

= 8

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 0, равна 8.

б) Аналогично, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 3 и y = 2, найдем точки пересечения этих двух линий. Подставим y = 2 в уравнение y = -x^2 + 3:

2 = -x^2 + 3

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, точки пересечения равны (-1, 2) и (1, 2).

Интегрируем функцию y = -x^2 + 3 по отрезку [-1, 1], чтобы найти площадь фигуры:

Площадь = ∫[a, b] (-x^2 + 3) dx

= ∫[-1, 1] (-x^2 + 3) dx

= [(-x^3/3 + 3x) ]|[-1, 1]

= [(-1/3 + 3) - (-1/3 - 3)]

= (8/3 - (-8/3)) + (8/3 - (-8/3))

= 16/3 + 16/3

= 32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 3 и y = 2, равна 32/3.