Question

Через вершины А и С треугольника АВС проходит окружность пересекающая сторону АВ в точке D и касающаяся стороны ВС.Найдите АD если АС=8,ВС=4DC=8÷корень из 3

Answer 1

Обозначим центр окружности О, а угол DАС через α, тогда

∠DOC = 2α ( центральный, опирается на ту же дугу, что и ∠DAC.

Рассмотрим треугольник DOC:

Он равнобедренный, т.к. OD = OC = R, значит ∠ODC = ∠OCD = (180°-2α)/2 = 90°-α

т.к. BC - касательная, то ∠OCB = 90°

∠DCB = 90° - ∠OCD = 90° - (90° - α) = α = ∠DAC

Рассмотрим ΔABC и ΔCBD:

∠B - общий, ∠DCB=∠CAB = α - по третьему признаку треугольники подобны, значит:

AB/CB = AC/CD

AB = AC*CB/CD = 6*8/4,8 = 10

BC/BD = AC/CD

BD = BC*CD/AC = 6*4,8/8 = 6*0,6 = 3,6

AD = AB - BD = 10 - 3,6 = 6,4

Ответ: 6,4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства касательных и секущих, а также теорему Пифагора.

Пусть точка касания окружности со стороной ВС обозначается как Е. Так как окружность касается стороны ВС, то линия, соединяющая точки D и E, будет перпендикулярной к стороне ВС. Обозначим точку пересечения этой линии с стороной ВС как F.

Таким образом, получаем, что треугольник BFE является прямоугольным.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику BFE: BE² = BF² + EF²

Мы знаем, что BC = 4, и DC = 8/√3. Также из задачи известно, что AC = 8.

Заметим, что треугольник ACD является прямоугольным, так как угол CDA является прямым углом (так как AD — диаметр окружности, и угол в полуокружности равен 90 градусам).

Применим теорему Пифагора к треугольнику ACD: AC² = AD² + DC²

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. BE² = BF² + EF²
2. AC² = AD² + DC²

Подставим известные значения:

1. (4 + BE)² = BF² + EF²
2. 8² = AD² + (8/√3)²

Раскроем скобки:

1. 16 + 8BE + BE² = BF² + EF²
2. 64 = AD² + (64/3)

Мы видим, что в обоих уравнениях есть AD². Выразим его из уравнения 2: AD² = 64 - (64/3) AD² = (192 - 64)/3 AD² = 128/3

Теперь подставим этот результат в первое уравнение: 16 + 8BE + BE² = BF² + EF²

Заметим, что треугольник BFE является подобным треугольнику BAC (по свойству касательных и секущих). Так как BC = 4, а AC = 8, то соответствующие стороны треугольников BFE и BAC имеют отношение 4:8 = 1:2.

Это означает, что BF = 2BE и EF = 2AC = 16.

Подставим значения: 16 + 8BE + BE² = (2BE)² + (16)² 16 + 8BE + BE² = 4BE² + 256

Упростим уравнение: BE² -