Question

Исследуйте функцию y=-2/3x^2+x+2/3

Answer 1

Объяснение:

ДАНО: y = - 2/3*x² + x + 2/3 - функция.

1) Область определения - непрерывная гладкая.

D(x) = R = (-∞;+∞)

1) Нули функции: Y(x) = 0.  Решаем квадратное уравнение.

х1 = -0.5 и  х2 = 2

2) Пересечение с осью ОУ.  Y(0) = 2/3.

3) Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: x = (-∞;-0,5)∪(2;+∞)

Положительна между нулями:  х =[-0,5;2].

4) Функция общего вида, ни чётная ни нечетная.

5) Поиск экстремов по первой производной.

Y'(x) = - 4/3*x + 1 = 0

x = 3/4  - корень производной

6) Экстремум: максимум Ymax(0.75) = 1.

7) Возрастает:  х = (-∞;0.75), убывает х = (0.75;+∞).

8) Точек перегиба нет.

Выпуклая - "горка" - во всей области определения.

Рисунок с графиком в приложении.

Answer 2

Данная функция является квадратичной функцией вида y = ax^2 + bx + c, где a = -2/3, b = 1 и c = 2/3.

1. Вершина параболы: Для нахождения вершины параболы можно воспользоваться формулами: x_v = -b / (2a) y_v = f(x_v), где f(x) - значение функции при заданном x.

   Подставляя значения a = -2/3 и b = 1 в формулу, получаем: x_v = -(1) / (2 * (-2/3)) = 3/4

   Подставляя x_v обратно в исходную функцию, находим y_v: y_v = -(2/3)(3/4)^2 + (3/4) + 2/3 = 7/8

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (3/4, 7/8).

2. Ось симметрии: Ось симметрии параболы проходит через вершину и параллельна оси y. В данном случае, ось симметрии будет иметь уравнение x = 3/4.

3. Направление открытия: Коэффициент a определяет направление открытия параболы. В данном случае, так как a = -2/3 (отрицательное значение), парабола будет направлена вниз.

4. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, необходимо решить уравнение y = 0 для оси x и x = 0 для оси y.

   Для оси x: -2/3x^2 + x + 2/3 = 0 Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: x_1 ≈ -1.13 и x_2 ≈ 1.5

   Для оси y: Подставляем x = 0 в исходную функцию: y = -(2/3)(0)^2 + (0) + 2/3 = 2/3

   Таким образом, точки пересечения с осями координат: x ≈ -1.13, x ≈ 1.5, и y = 2/3.

5. График функции: Ниже приведен график функции y = -2/3x^2 + x + 2/3.