Question

Докажите что sin(3/2p+a)ctg(p/2-a)+sin(p-a)+ctg(3/2p-a)=tga

Answer 1

$sin(\frac{3\pi}{2}+a)\cdpt ctg(\frac{\pi }{2}-a)+sin(\pi -a)+ctg(\frac{3\pi }{2}-a)=\\\\=-cosa\cdot tga+sina+tga=-cosa\cdot \frac{sina}{cosa}+sina+tga=\\\\=-sina+sina+tga=tga$

Answer 2

Для начала, давайте упростим выражение, чтобы увидеть, можно ли доказать его равенство tg(a):

sin(3/2π + a) * ctg(π/2 - a) + sin(π - a) + ctg(3/2π - a) = tg(a)

Для упрощения будем использовать следующие тригонометрические тождества:

1. sin(π - x) = sin(x)
2. ctg(π/2 - x) = tan(x)
3. ctg(x) = 1 / tan(x)

Применяя эти тождества, выражение принимает следующий вид:

sin(3/2π + a) * tan(a) + sin(a) + 1 / tan(3/2π - a) = tg(a)

Чтобы доказать это равенство, нам нужно привести оба выражения к общему знаменателю и сравнить числитель и знаменатель.

Умножим первое слагаемое на tan(3/2π - a) / tan(3/2π - a), второе слагаемое на tan(3/2π - a) / tan(3/2π - a), а третье слагаемое на tan(a) * tan(3/2π - a) / tan(a) * tan(3/2π - a):

(sin(3/2π + a) * tan(3/2π - a) + sin(a) * tan(3/2π - a) + 1) * (tan(a) * tan(3/2π - a)) = tg(a) * (tan(a) * tan(3/2π - a) * tan(3/2π - a))

После упрощения и замены tan(3/2π - a) на cot(a) получим:

(sin(3/2π + a) * cot(a) + sin(a) * cot(a) + 1) * cot(a) = tg(a) * (cot(a) * cot(a))

Теперь в числителе находится сумма:

(sin(3/2π + a) + sin(a) + cot(a)) * cot(a) = tg(a) * (cot(a) * cot(a))

Теперь применим два тригонометрических тождества:

1. sin(x) + sin(y) = 2 * sin((x + y) / 2) * cos((x - y) / 2)
2. cot(x) = cos(x) / sin(x)

Применяя эти тождества, получаем:

2 * sin((3/2π + a + a) / 2) * cos((3/2π + a - a) / 2) + cot(a) = tg(a) * (cot(a) * cot(a))

Упрощая, получаем:

2 * sin(3/2π) * cos(a) + cot(a) = tg(a) * (cot(a) * cot(a))

Теперь рассмотрим значения sin(3/2π) и cos(3/2π):

sin(