Question

Докажите тождество: sin(a+B)+sin(а-B) = 2 sin a cos B

Answer 1

sin(a+B)+sin(а-B)=sinacosb+sinbcosa+sinacosb-sinbcosa= 2sinacosb

Answer 2

Нужно расписать по формуле сложения углов каждый sin:
sin(a+b)+sin(a-b)= (sina*cosb+cosa*sinb) + ( sina*cosb-cosa*sinb)=2*sina*cosb

Answer 3

Давайте воспользуемся формулой суммы двух синусов:

sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y).

Применяя эту формулу к первому слагаемому в левой части тождества:

sin(a + B) = sin(a) * cos(B) + cos(a) * sin(B).

Теперь применим формулу разности двух синусов:

sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y).

Применяя эту формулу ко второму слагаемому в левой части тождества:

sin(a - B) = sin(a) * cos(B) - cos(a) * sin(B).

Теперь объединим оба слагаемых:

sin(a + B) + sin(a - B) = (sin(a) * cos(B) + cos(a) * sin(B)) + (sin(a) * cos(B) - cos(a) * sin(B)).

Мы видим, что слагаемые с sin(a) * cos(B) и cos(a) * sin(B) взаимно уничтожаются:

(sin(a) * cos(B) + sin(a) * cos(B)) + (-cos(a) * sin(B) + cos(a) * sin(B)) = 2 sin(a) * cos(B) - 2 cos(a) * sin(B).

Заметим, что -2 cos(a) * sin(B) эквивалентно -2 sin(B) * cos(a), так как умножение числа на -1 не меняет его значение.

Тогда мы получаем:

2 sin(a) * cos(B) - 2 sin(B) * cos(a).

Используя коммутативность умножения, можно записать это выражение как:

2 sin(a) * cos(B) - 2 cos(a) * sin(B) = 2(sin(a) * cos(B) - cos(a) * sin(B)).

Заметим, что выражение в скобках равно sin(a - B). Подставляя это обратно в наше равенство, получаем:

2(sin(a) * cos(B) - cos(a) * sin(B)) = 2 sin(a - B).

Таким образом, мы доказали, что

sin(a + B) + sin(a - B) = 2 sin(a) * cos(B).

Тождество подтверждено.