Question

Найдите производные от следующий функций a) y=ln(e^x-3) б) y=x^7*(2-x^2)

Answer 1

$y = \ln(e^x -3) \\ y' = \frac{e^x}{e^x-3} \\ y = x^7 (2 - x^2) = 2x^7 - x^9 \\ y ' = 14x^6-9x^8$

Answer 2

a) Чтобы найти производную функции y = ln(e^x - 3), воспользуемся цепным правилом дифференцирования. По цепному правилу производная композиции функций f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) на производную внутренней функции g'(x).

Давайте применим это правило к нашей функции:

Пусть u = e^x - 3. Тогда y = ln(u).

Найдем производную u по x: u' = (e^x)' = e^x.

Теперь найдем производную y по x, используя цепное правило:

y' = (ln(u))' = (ln(u))' * u' = (1/u) * u' = (1/(e^x - 3)) * e^x.

Таким образом, производная функции y = ln(e^x - 3) равна (1/(e^x - 3)) * e^x.

b) Чтобы найти производную функции y = x^7 * (2 - x^2), применим правило производной произведения функций.

Давайте разобъем функцию на две части: f(x) = x^7 и g(x) = 2 - x^2.

Найдем производную f'(x) и g'(x):

f'(x) = 7x^(7-1) = 7x^6, g'(x) = (-2x^2)' = -4x.

Теперь применим правило производной произведения:

y' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) = 7x^6 * (2 - x^2) + x^7 * (-4x) = 14x^6 - 7x^8 - 4x^8 = 14x^6 - 11x^8.

Таким образом, производная функции y = x^7 * (2 - x^2) равна 14x^6 - 11x^8.