Question

Найти уравнение эволюты парабола y=x^2

Answer 1

$X=x- \frac{y'(1+y'^{2})}{y''} =-4x^{3} \\ Y=y+\frac{1+y'^{2}}{y''}= \frac{1+6x^{2}}{2}$
Исключив параметр x, найдем уравнение эволюты в явном виде:
$Y= \frac{1}{2} +3( \frac{X}{4} )^{ \frac{3}{2}}$

Answer 2

Чтобы найти уравнение эволюты параболы y = x^2, нужно найти параметрические уравнения для кривой, описывающей касательные к данной параболе.

Пусть точка (a, a^2) лежит на параболе y = x^2. Чтобы найти касательную к параболе в этой точке, мы будем использовать параметрическое представление касательной.

Параметрическое уравнение эволюты параболы имеет вид: x = a + t y = (a + t)^2

где t - параметр.

Теперь найдем производные x и y по параметру t: dx/dt = 1 dy/dt = 2(a + t)

Уравнение касательной в точке (a, a^2) можно записать в виде: (x - a) / (dx/dt) = (y - a^2) / (dy/dt)

Подставим значения производных и координат точки: (x - a) / 1 = (y - a^2) / (2(a + t))

Упростим это уравнение: x - a = (y - a^2) / (2(a + t))

Перенесем x налево и умножим обе части на 2(a + t): 2(a + t)(x - a) = y - a^2

Раскроем скобки: 2ax - 2a^2 + 2tx - 2ta = y - a^2

Упростим: 2ax - a^2 + 2tx - 2ta = y

Таким образом, уравнение эволюты параболы y = x^2 имеет вид: 2ax - a^2 + 2tx - 2ta = y

Это уравнение описывает касательные к параболе y = x^2 в каждой точке (a, a^2).