Question

При яких значеннях параметра а рівняння (3а-2)х2-(4-6а)х+а+2=0 має розв'язки

Answer 1

Решение:
Рассмотрим два возможных случая:
1) Если 3а - 2 = 0, т.е. 3а = 2, а = 2/3, то
0•х^2 - (4-6• 2/3)•х+2/3+2=0
0•х = - 2 2/3
Линейное уравнение корней не имеет.
2) Если 3а - 2 не равно 0, а не равно 2/3, то
Квадратное уравнение имеет корни в том случае, когда его дискриминант неотрицательный.
D = b^2 -4ac
D = (4 - 6a )^2 -4• (3a - 2)•(a + 2) = 16 - 48a + 36a^2 - 12a^2 + 8a - 24a + 16 = 24a^2 - 64а +32 = 8•(3a^2 - 8а + 4);
D ≥0,
D1 = 64 - 48 = 16
a1 = (8 + 4):6 = 2
a2 = (8 - 4) : 6 = 2/3
24( a - 2)(a -2/3) ≥0

___+___(2/3)____-___[2]___+___а

Получили, что уравнение
(3а-2)х^2 - (4-6а)х + а + 2 = 0 имеет действительные корни при всех значениях а, принадлежащих промежуткам:
(- ∞; 2/3) U [2; + ∞)

Answer 2

Для того, щоб рівняння мало розв'язки, дискримінант (значення під коренем квадратному) повинен бути не менше нуля.

Розглянемо рівняння (3а-2)х^2 - (4-6а)х + а + 2 = 0.

Дискримінант рівняння можна обчислити за формулою: D = b^2 - 4ac, де a = 3a-2, b = -(4-6a), c = a+2.

Підставляємо значення a, b і c в формулу для дискримінанта:

D = [-(4-6a)]^2 - 4(3a-2)(a+2).

Розкриваємо дужки і спрощуємо вираз:

D = (4-6a)^2 - 4(3a-2)(a+2).

D = (16 - 48a + 36a^2) - (12a - 8)(a + 2).

D = 16 - 48a + 36a^2 - (12a^2 + 20a - 24).

D = 16 - 48a + 36a^2 - 12a^2 - 20a + 24.

D = 36a^2 - 32a + 40.

Тепер треба розв'язати нерівність D ≥ 0, щоб знайти значення параметра а, при яких рівняння має розв'язки.

36a^2 - 32a + 40 ≥ 0.

Цю квадратну нерівність можна розв'язати за допомогою факторизації, розклавши її на множники:

(6a - 5)(6a - 4) ≥ 0.

Щоб добути значення параметра а, при яких нерівність виконується, треба розглянути два випадки:

1. (6a - 5) ≥ 0 та (6a - 4) ≥ 0. З цих нерівностей отримуємо: 6a ≥ 5 та 6a ≥ 4. Розв'язуючи ці нерівності, отримуємо a ≥ 5/6 та a ≥ 2/3. Оскільки потрібно задовольнити обидві умови, враховуємо перетин множин: a ≥ 5/6.

2. (6a - 5) ≤ 0 та (6a - 4) ≤ 0. З цих нерівностей отримуємо: 6a ≤