Question

Помогите решить,пожалуйста,неравенство (х+2)² ≤ 2(х+1) √(2х+3)

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

ОДЗ  x+1≥0⇒x≥-1 U 2x+3≥0⇒x≥-1,5
(x²+4x+4)²≤(2x+2)²(2x+3)
x^4+8x³+24x²+32x+16≤8x³+28x²+32x+12
x^4+8x³+24x²+32x+16-8x³-28x²-32x-12≤0
x^4-4x²+4≤0
(x²-2)²≤0
x²-2=0
x²=2
x=-√2 не удов усл
x=√2

Answer 3

Давайте решим это неравенство по шагам.

(х + 2)² ≤ 2(х + 1) √(2х + 3)

Сначала раскроем квадрат слева:

(х + 2)(х + 2) ≤ 2(х + 1) √(2х + 3)

(x² + 4х + 4) ≤ 2(х + 1) √(2х + 3)

Теперь упростим правую часть:

x² + 4x + 4 ≤ 2х√(2х + 3) + 2√(2х + 3)

Приравняем неравенство к нулю и перенесем все в одну часть:

x² + 4x + 4 - 2х√(2х + 3) - 2√(2х + 3) ≤ 0

Теперь обозначим √(2х + 3) = t:

x² + 4x + 4 - 2xt - 2t ≤ 0

Вынесем общий множитель из первых трех членов:

(x² + 4x - 2xt) + (4 - 2t) ≤ 0

Теперь группируем:

x(x + 4 - 2t) + (4 - 2t) ≤ 0

Поменяем местами слагаемые:

(4 - 2t) + x(x + 4 - 2t) ≤ 0

Раскроем скобки во втором слагаемом:

(4 - 2t) + (x² + 4x - 2xt) ≤ 0

Упростим:

x² + 4x - 2xt + 4 - 2t ≤ 0

Теперь объединим подобные члены:

x² + (4 - 2t)x + (4 - 2t) ≤ 0

У нас получилось квадратное неравенство. Чтобы решить его, можно использовать графический метод или аналитический метод с использованием дискриминанта. Если вы предпочитаете аналитический метод, то продолжим решение.

Неравенство x² + (4 - 2t)x + (4 - 2t) ≤ 0 может быть решено, если дискриминант D будет меньше или равен нулю:

D = (4 - 2t)² - 4(4 - 2t) ≤ 0

Раскроем скобки:

(16 - 16t + 4t²) - (16 - 8t) ≤ 0

Упростим:

4t² - 8t ≤ 0

Вынесем общий множитель:

4t(t - 2) ≤ 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. 4t ≤ 0 и t - 2 ≥ 0: Здесь получаем t ≤ 0 и t