Question

Известно что x+y=a, xy=b, x^2+y^2=c. Найдите зависимость между a b и c

Answer 1

(х+у)² = х² + у² + 2ху
a² = c + 2b
или
c = a² - 2b

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки.

Из первого уравнения, x + y = a, можно выразить y через x: y = a - x.

Подставим это выражение во второе уравнение: x(a - x) = b. Раскроем скобки: ax - x^2 = b.

Перепишем это уравнение в виде: x^2 - ax + b = 0.

Уравнение x^2 - ax + b = 0 является квадратным уравнением относительно x. Известно, что у квадратного уравнения с общим видом ax^2 + bx + c = 0 сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a. В нашем случае, сумма корней равна a, так как x + y = a. Произведение корней равно b, так как xy = b.

Итак, у нас есть следующие зависимости: Сумма корней: x + y = a Произведение корней: xy = b

Мы можем использовать эти зависимости для определения значения третьего уравнения, x^2 + y^2 = c.

Раскроем квадрат суммы корней (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, и заменим xy на b: (x + y)^2 = x^2 + 2b + y^2.

Раскроем скобки в левой части и приведем подобные слагаемые: x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 2b + y^2.

Сократим x^2 и y^2: 2xy = 2b.

Теперь мы можем сделать вывод: x^2 + y^2 = c равносильно 2xy = 2b. Это означает, что c = 2b.

Итак, мы нашли зависимость между a, b и c: c = 2b.

Итоговая зависимость: c = 2b.