Question

Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция y=2x^5+3x^3+x+2 возрастает

Answer 1

                                                      Решение:

 

Пусть х2>x1,

Тогда:
x2-x1>0
x1^3-x2^3>0
x1^5-x2^5>0
y2-y1=2^5(x2^5-x1^5)-3^5(x2^3-x1^3)+(x2-x1)>0
Мы получили ,что из x2>x1 следует что y2>y1
А это по определение означает что у- возрастающая функция.

Answer 2

Чтобы доказать, что функция y = 2x^5 + 3x^3 + x + 2 возрастает, мы можем проанализировать производную этой функции и показать, что она положительна для всех значений x. Если производная положительна, это означает, что функция имеет положительный наклон и, следовательно, возрастает.

Давайте найдем производную функции y по x. Производная функции y = 2x^5 + 3x^3 + x + 2 будет равна:

y' = (d/dx)(2x^5) + (d/dx)(3x^3) + (d/dx)(x) + (d/dx)(2)

Упрощая выражение, получим:

y' = 10x^4 + 9x^2 + 1

Теперь нам нужно показать, что выражение 10x^4 + 9x^2 + 1 положительно для всех значений x. Мы можем сделать это, используя свойства числовых неравенств.

Для начала, заметим, что коэффициент при x^4 (10) является положительным числом. Также, выражение 9x^2 + 1 всегда положительно, потому что 9x^2 является неотрицательным числом для всех значений x, а прибавление 1 не изменит этот факт.

Теперь, рассмотрим выражение 10x^4 + 9x^2 + 1. Мы можем заметить, что каждый член этого выражения неотрицателен, так как квадраты и положительные числа прибавляются к положительному числу 1. Это означает, что сумма всех членов выражения также будет неотрицательной.

Однако, выражение 10x^4 + 9x^2 + 1 может быть равным нулю только при x = 0, иначе каждый член будет положительным.

Таким образом, мы показали, что производная функции y = 2x^5 + 3x^3 + x + 2 (y' = 10x^4 + 9x^2 + 1) положительна для всех значений x, кроме x = 0.

Следовательно, функция y = 2x^5 + 3x^3 + x + 2 возрастает для всех значений x, кроме x = 0, что и требовалось доказать.