Question

(a^2+1)*(a^6+1)*(a^12+1)≥8*a^10 для любого действительного а

Answer 1

..................................

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, нам необходимо использовать алгебраические преобразования. Давайте разберемся с неравенством шаг за шагом:

1. Раскроем скобки: (a^2 + 1) * (a^6 + 1) * (a^12 + 1) = (a^2 * a^6 * a^12) + (a^2 * a^6) + (a^2 * a^12) + (a^2) + (a^6 * a^12) + (a^6) + (a^12) + 1.

2. Заметим, что все слагаемые в этой сумме являются положительными, поскольку каждое слагаемое содержит положительные степени переменной a, а также добавляет положительные константы (например, 1).

3. Так как все слагаемые положительные, мы можем применить неравенство о средних арифметическом и средних квадратическом для получения следующего неравенства: (a^2 * a^6 * a^12 + a^2 * a^6 + a^2 * a^12 + a^2 + a^6 * a^12 + a^6 + a^12 + 1) / 8 ≥ (a^10)^(1/8).

4. Упростим левую часть неравенства: (a^2 * a^6 * a^12 + a^2 * a^6 + a^2 * a^12 + a^2 + a^6 * a^12 + a^6 + a^12 + 1) / 8 ≥ (a^10)^(1/8). (a^2 * a^6 * a^12 + a^2 * a^6 + a^2 * a^12 + a^2 + a^6 * a^12 + a^6 + a^12 + 1) / 8 ≥ a^(10/8).

5. Поскольку степень a в числителе каждого слагаемого больше или равна 10/8, мы можем упростить левую часть неравенства еще больше: (a^2 * a^6 * a^12 + a^2 * a^6 + a^2 * a^12 + a^2 + a^6 * a^12 + a^6 + a^12 + 1) / 8 ≥ a^(10/8). (a^10 * (a^2 * a^6 * a^12) + a^10 * (a^2 * a^6) + a^10 * (a^2 * a^12) + a^10 * (a^2) + a^10 * (a^6 * a^12) + a^10 * (a^6) + a^10 * (a^12) + a^10) / 8 ≥ a^(10/8).

6. Далее упростим числитель, вынесем a^10 за скобки: (a^10 * (