Question

Найдите наименьшее значение функцииy=2cos x+(12/П)х+5 на отрезке [-2П/3 ; 0]

Answer 1

Найдем промежутки возрастания/убывания данной функции:
$f'(x)=(2cos x+{12\over\pi}x+5)'=-2sinx+{12\over\pi}\\f'(x)\ \textgreater \ 0\Rightarrow sinx\ \textless \ {6\over\pi}\\f'(x)\ \textless \ 0\Rightarrow sinx\ \textgreater \ {6\over\pi}, x\in[-{2\over3}\pi;0]\Rightarrow sinx\leq0\Rightarrow x\in\varnothing$

Значит на нашем отрезке данная функция возрастает. Значит наименьшее значение при наименьшем значении x:
$y_{min}=2cos(-{2\over3}\pi)-8+5=-1-3=-4$

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции y = 2cos(x) + (12/π)x + 5 на отрезке [-2π/3; 0], мы должны найти точку, где производная функции равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции y по x. Обратите внимание, что производная косинуса cos(x) равна -sin(x), а производная постоянного слагаемого равна 0. Таким образом, производная функции y будет иметь вид:

y' = -2sin(x) + 12/π

Затем приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-2sin(x) + 12/π = 0

-2sin(x) = -12/π

sin(x) = 6/π

Чтобы найти значение x, при котором sin(x) равен 6/π, нам нужно найти обратный синус этого значения. Воспользуемся обратной функцией arcsin:

x = arcsin(6/π)

Теперь мы должны проверить, лежит ли найденное значение x в пределах отрезка [-2π/3; 0]. Если да, то это будет критическая точка, в которой производная равна нулю.

Подставим значения пределов отрезка в x и убедимся, что найденное x лежит в этом интервале:

-2π/3 ≤ x ≤ 0

-2π/3 ≤ arcsin(6/π) ≤ 0

Если полученное значение x находится в интервале [-2π/3; 0], мы можем использовать его для нахождения наименьшего значения функции y.

Вычислим значение функции y при найденном x:

y = 2cos(arcsin(6/π)) + (12/π)(arcsin(6/π)) + 5

Таким образом, найдем численное значение y.