Question

Д-ть, что посл-ть xn=(3n+1)/(2n-11) ограничена и, начиная с некоторого номера убывает

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} (3+1/n)/(2-11/n)=3/2$
предел последовательности конечен. 
следовательно она ограничена.
xn-xn+1=(3n+1)/(2n-11)-(3n+4)/(2n-9)=35/(2n-11)(2n-9)
(2n-11)(2n-9)>0
n>=6  последовательность убывает.

Answer 2

Чтобы доказать, что последовательность $x_n = \frac{{3n + 1}}{{2n - 11}}$ ограничена, мы должны найти верхнюю и нижнюю границы последовательности.

Рассмотрим предел последовательности при $n \to \infty$:

$\lim_{{n \to \infty}} x_n = \lim_{{n \to \infty}} \frac{{3n + 1}}{{2n - 11}}.$

Мы можем применить правило Лопиталя, чтобы упростить этот предел:

$\lim_{{n \to \infty}} \frac{{3n + 1}}{{2n - 11}} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{{3}}{{2}} = \frac{{3}}{{2}}.$

Это означает, что предел последовательности равен $\frac{{3}}{{2}}$. Теперь мы знаем, что последовательность сходится к $\frac{{3}}{{2}}$ при $n \to \infty$.

Чтобы доказать, что последовательность убывает начиная с некоторого номера, нам нужно проанализировать её разность между соседними членами. Вычислим:

$x_{n+1} - x_n = \frac{{3(n+1) + 1}}{{2(n+1) - 11}} - \frac{{3n + 1}}{{2n - 11}}.$

Сократим и упростим выражение:

$x_{n+1} - x_n = \frac{{3n + 4}}{{2n - 9}} - \frac{{3n + 1}}{{2n - 11}} = \frac{{12}}{{(2n - 9)(2n - 11)}}.$

Теперь заметим, что разность положительна для всех значений $n$ больше 6 (так как $(2n - 9)(2n - 11) > 0$ при $n > 6$). Это означает, что начиная с некоторого номера, последовательность $x_n$ будет убывать.

Итак, мы доказали, что последовательность $x_n = \frac{{3n + 1}}{{2n - 11}}$ ограничена и начиная с некоторого номера убывает.