Question

Вычислите f'(x0), если: а) f(x)=3cos2x, x0=-2π/3 б) f(x)=4tg3x, x0=-π/3

Answer 1

$a) f(x)=3cos2x\\f'(x)=-3sin2x*2=-6sin2x\\f'(-\frac{\pi }{3})=-6sin(-\frac{2\pi }{3})=-6*(-\frac{\sqrt{3} }{2})=3\sqrt{3}\\b) f(x)=4tg3x\\f'(x)=4*\frac{1}{cos^23x}*3=\frac{12}{cos^23x}\\ f'(-\frac{\pi }{3})=\frac{12}{cos^2(-\pi)}=12$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) в точке x0, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule). Обозначим g(x) как внутреннюю функцию, а h(x) как внешнюю функцию.

а) f(x) = 3cos(2x), x0 = -2π/3

В данном случае g(x) = 2x, а h(x) = 3cos(x). Применяя правило дифференцирования сложной функции, мы получаем:

f'(x) = h'(g(x)) * g'(x)

g'(x) = 2 (производная функции g(x) = 2x) h'(x) = -3sin(x) (производная функции h(x) = 3cos(x))

Теперь мы можем вычислить f'(x0) в точке x0 = -2π/3:

f'(x0) = h'(g(x0)) * g'(x0) = h'(2*(-2π/3)) * 2 = h'(-4π/3) * 2 = -3sin(-4π/3) * 2

Используя тригонометрические соотношения, sin(-θ) = -sin(θ), мы можем упростить выражение:

f'(x0) = -3sin(-4π/3) * 2 = -3*(-sin(4π/3)) * 2 = 6sin(4π/3) = 6sin(2π/3) = 6sin(π/3) = 6 * √3/2 = 3√3

Таким образом, f'(-2π/3) = 3√3.

б) f(x) = 4tan(3x), x0 = -π/3

В данном случае g(x) = 3x, а h(x) = 4tan(x). Применяя правило дифференцирования сложной функции, мы получаем:

f'(x) = h'(g(x)) * g'(x)

g'(x) = 3 (производная функции g(x) = 3x) h'(x) = 4sec^2(x) (производная функции h(x) = 4tan(x))

Теперь мы можем вычислить f'(x0) в точке x0 = -π/3:

f'(x0) = h'(g(x0)) * g'(x0) = h'(3*(-π/3)) * 3 = h'(-π) * 3 = 4sec^2(-π) * 3

Поскольку sec(-θ) = sec(θ), мы можем упростить выражение:

f'(x0) = 4sec^2(-π) * 3 = 4sec^2(π) * 3 = 4 * 1^2 * 3 =