Question

Определите число корней уравнения 3 ctg 3x - корень из 3 = 0, принадлежащих отрезку [ п/6 ; п]

Answer 1

$3ctg3x- \sqrt{3} =0\\ 3ctg3x= \sqrt{3}\\ ctg3x= \frac{ \sqrt{3} }{3} \\ 3x=arccot \frac{ \sqrt{3} }{3} + \pi k\\ 3x= \frac{ \pi }{3}+ \pi k\\ x= \frac{ \pi }{9} + \frac{ \pi k}{3} \\ \frac{ \pi }{6} \leq \frac{ \pi }{9} + \frac{ \pi k}{3} \leq \pi \\ \frac{ \pi }{18} \leq \frac{ \pi k}{3} \leq \frac{8 \pi }{9} \\ \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{8}{3} \\ k=1;k=2$


Значит на [П/6;П] будет два корня при к=1 и к=2

Answer 2

Дано уравнение:

3 ctg(3x) - √3 = 0

Для определения числа корней на отрезке [π/6, π], мы можем проанализировать знак функции 3 ctg(3x) - √3 на этом интервале.

Обратимся к определению функции котангенс (ctg):

ctg(x) = 1 / tan(x)

Учитывая, что tan(x) равно нулю на точках x = π/2, π/2 + π, π/2 + 2π, и т.д., мы можем найти точки, в которых ctg(x) обращается в бесконечность.

Таким образом, на отрезке [π/6, π] функция 3 ctg(3x) будет менять свой знак каждый раз, когда x пересекает значения π/2, π/2 + π, π/2 + 2π и т.д.

Для определения числа корней уравнения, нам нужно найти значения x на отрезке [π/6, π], при которых функция 3 ctg(3x) - √3 обращается в ноль.

На отрезке [π/6, π] функция 3 ctg(3x) - √3 будет менять свой знак только один раз, поскольку ctg(3x) обращается в ноль только при x = π/6 + π/3 = π/2. Это единственная точка, где функция может равняться нулю на этом отрезке.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень на отрезке [π/6, π].