Question

8. Последовательность (ап) – арифметическая прогрессия. Найдите сумму двадцати членов прогрессии, если a1 + a4 + a7=45,a4 · a6=315.(Срочно!)

Answer 1

$a_n=a_1+(n-1)d$ - n-ый член арифметической прогрессии
Воспользуемся этой формулой
$a_1+a_4+a_7=45\\ a_1+a_1+3d+a_1+6d=45\\ 3a_1+9d=45\\ \\ a_4\cdot a_6=315\\ (a_1+3d)\cdot(a_1+5d)=315$
Решая систему уравнений
$\displaystyle \left \{ {{3a_1+9d=45\,\,\,\, |:3} \atop {(a_1+3d)(a_1+5d)=315}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a_1+3d=15} \atop {(a_1+3d)\cdot(a_1+3d+2d)=315}} \right. \\ \\ 15\cdot(15+2d)=315|:15\\ 15+2d=21\\ 2d=6\\ d=3\\ \\ a_1=15-3d=15-3\cdot3=15-9=6$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется следующим образом
$S_n= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$
Тогда сумма первых двадцати членов этой прогрессии:
$S_{20}= \dfrac{2a_1+19d}{2}\cdot20=10\cdot(2a_1+19d)=10\cdot(2\cdot6+19\cdot3)= 690$


Ответ:   $690.$

Answer 2

Давайте решим задачу.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен а, а разность прогрессии равна d. Тогда второй член будет равен a + d, третий член - a + 2d и так далее.

Нам дано, что a1 + a4 + a7 = 45. Подставим значения членов прогрессии и получим:

a + (a + 3d) + (a + 6d) = 45 3a + 9d = 45 a + 3d = 15

Также нам дано, что a4 · a6 = 315. Подставим значения членов прогрессии и получим:

(a + 3d) · (a + 5d) = 315 a^2 + 8ad + 15d^2 = 315 a^2 + 8ad + 15d^2 - 315 = 0

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

Система уравнений: a + 3d = 15 a^2 + 8ad + 15d^2 - 315 = 0

Давайте решим эту систему уравнений.

Используем первое уравнение, чтобы выразить а через d: а = 15 - 3d.

Подставим это выражение для а во второе уравнение:

(15 - 3d)^2 + 8(15 - 3d)d + 15d^2 - 315 = 0 225 - 90d + 9d^2 + 120d - 24d^2 + 15d^2 - 315 = 0 9d^2 - 84d - 90 = 0 d^2 - 14d - 10 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

d = (14 ± √(14^2 - 4*(-10))) / 2 d = (14 ± √(196 + 40)) / 2 d = (14 ± √236) / 2 d = 7 ± √59

Теперь найдем соответствующие значения а:

a = 15 - 3d

a1 = 15 - 3(7 + √59) = 15 - 21 - 3√59 = -6 - 3√59 a2 = 15 - 3(7 - √59) = 15 - 21 + 3√59 = -6 + 3√59

Теперь, чтобы найти сумму 20 членов прогрессии, воспользуемся формулой для суммы прогрессии:

Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)

Здесь n = 20, a1 = -6 - 3√59, d = 7 + √59.

Sn = (20/2)(2(-6 - 3√59) + (20 - 1)(7 + √59)) Sn = 10