Question

При яких значеннях а обидва корені рівняння х2-2ах+а2-1=0 менші від числа 2​

Answer 1

$x^2-2ax+a^2-1=0(x-a)^2-1=0(x-a-1)(x-a+1)=0\\x-a-1=0x=a+1\\x-a+1=0x=a-1\\\left \{ {{a+1$

Answer 2

Щоб обидва корені рівняння $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ були менші за 2, маємо наступну умову:

$x < 2$

Спочатку розв'яжемо рівняння для знаходження коренів. Використовуючи квадратну формулу, отримаємо:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

У нашому випадку, $a = 1$, $b = -2a = -2$ і $c = a^2 - 1$. Підставляючи ці значення, маємо:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 1)}}{2 \cdot 1}$

Скорочуючи вираз, отримаємо:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(a^2 - 1)}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4a^2 + 4}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8 - 4a^2}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2 - a^2}$

Тепер, щоб обидва корені були менші за 2, маємо таку умову:

$1 - \sqrt{2 - a^2} < 2$ і $1 + \sqrt{2 - a^2} < 2$

Розглянемо першу нерівність:

$1 - \sqrt{2 - a^2} < 2$

Віднімаємо 1 від обох боків:

$-\sqrt{2 - a^2} < 1$

Множимо обидва боки на -1 (і змінюємо напрям нерівності):

$\sqrt{2 - a^2} > -1$

Так як відносна величина завжди неотрицялна, то ця нерівність виконується для будь-яких значень $a$.

Аналогічні розрахунки проводяться для другої нерівності:

$1 + \sqrt{2 - a^2} < 2$

Віднімаємо 1 від обох боків:

$\sqrt{2 - a^2} < 1$

Множимо обидва боки на 1:

$\sqrt{2 - a^2} < 1$

Також ця нерівність виконується для будь-яких значень (a