Question

X^2-y^2=3 решите в целых числах уравнение

Answer 1

x²-y²=3  ⇒  (x-y)(x+y)=3

Раз решаем в целых числах, то имеет место быть следующая совокупность систем:

$\left[\begin{array}{I} +\left\{\begin{array}{I} x-y=3 \\ x+y=1 \end{array}} \\ +\left\{\begin{array}{I} x-y=1 \\ x+y=3 \end{array}} \\ +\left\{\begin{array}{I} x-y=-3 \\ x+y=-1 \end{array}}\\ +\left\{\begin{array}{I} x-y=-1 \\ x+y=-3 \end{array}} \end{array}} \ \Leftrightarrow \ \left[\begin{array}{I} x=2 \ \Rightarrow \ y=-1 \\ x=2 \ \Rightarrow \ y=1 \\ x=-2 \ \Rightarrow \ y=1 \\ x=-2 \ \Rightarrow \ y=-1 \end{array}}$

Ответ: (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1)

Answer 2

Уравнение $x^2 - y^2 = 3$ можно решить в целых числах, используя метод параметризации. Допустим, что $x$ и $y$ - целые числа. Рассмотрим следующую параметризацию:

$x = a + b$ $y = a - b$

где $a$ и $b$ - целые числа. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 3$

Упрощаем:

$4ab = 3$

Таким образом, получаем, что $ab$ должно быть равно $3/4$. Заметим, что 3/4 не является целым числом, следовательно, уравнение $x^2 - y^2 = 3$ не имеет целочисленных решений.