Question

Пусти m-количество трёхзначных чисел , у которых средняя цифра меньше крайних, а n-количество трёхзначных чисел у которых средняя цифра больше крайних. Чему равна разность m-n ?

Answer 1

Находим количество трёхзначных чисел, у которых средняя цифра меньше   крайних:
1)Средняя цифра равна 0, тогда на месте сотен может быть любая их 9-ти цифр (от 1 до 9) и  на месте единиц - любая из 9-ти цифр (от 1 до 9), а всего их 9*9=81
2)Средняя цифра равна 1,тогда на на месте сотен может быть любая из 8-ми цифр (от 1 до 8) и на месте единиц - любая из 8-ми цифр (от 1 до 8), а всего их 8*8=64
Далее рассуждаем аналогично...............
3) Средняя цифра равна 2     7*7=49
4) Средняя цифра равна 3     6*6=36
5) Средняя цифра равна 4     5*5=25
6) Средняя цифра равна 5     4*4=16
7) Средняя цифра равна 6     3*3=9
8) Средняя цифра равна 7      2*2=4
9) Средняя цифра равна 8      1*1=1
Итак, m=81+64+49+36+25+16+9+4+1=285

Нахадим количество трёхзначных чисел, у которых средняя цифра больше крайних:
1) Средняя цифра равна 9, тогда на месте сотен может стоять любая из 8-ми цифр (от 1 до 8), а на месте единиц - любая цифра их 9-ти (от 0 до 8), а всего их 8*9=72
2) Средняя цифра равна 8, тогда на месте сотен может стоять любая из 7-ми цифр (от 1 до 7), а на месте единиц - любая цифра их 8-ми (от 0 до 7), а всего их 7*8=56
Далее рассуждаем аналогично.......................
3) Средняя цифра равна 7   6*7=42
4) Средняя цифра равна 6   5*6=30
5) Средняя цифра равна 5    4*5=20
6) Средняя цифра равна 4    3*4=12
7) Средняя цифра равна 3     2*3=6
8) Средняя цифра равна 2     1*2=2
Итак, n=72+56+42+30+20+12+6+2=240

m-n = 285-240 = 45

Answer 2

Для решения этой задачи нужно рассмотреть возможные значения средней и крайних цифр трехзначных чисел.

Средняя цифра может принимать значения от 0 до 9, а крайние цифры - от 1 до 9.

Пусть средняя цифра равна i, где i принадлежит к множеству {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Тогда левая и правая цифры будут меньше i и принадлежат множеству {1, 2, ..., i-1}. Таким образом, для каждого i есть (i-1) возможных значений для каждой крайней цифры.

Суммируя все возможные комбинации для каждого i, получим общее количество трехзначных чисел, где средняя цифра меньше крайних: m = Σ(i-1), где i = 1 до 9.

Аналогично, для трехзначных чисел, где средняя цифра больше крайних, мы можем рассмотреть ситуацию, где средняя цифра равна j, где j принадлежит к множеству {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Тогда левая и правая цифры будут больше j и принадлежат множеству {j+1, j+2, ..., 9}. Таким образом, для каждого j есть (9-j) возможных значений для каждой крайней цифры.

Аналогично, суммируя все возможные комбинации для каждого j, получим общее количество трехзначных чисел, где средняя цифра больше крайних: n = Σ(9-j), где j = 1 до 9.

Теперь мы можем вычислить разность m-n: m - n = Σ(i-1) - Σ(9-j), где i = 1 до 9, j = 1 до 9.

После вычисления суммы, мы получим значение разности m-n.