Question

Решите уравнения 4cos2x+3sin2x=5

Answer 1

4cos2x+3sin2x=5

-5 + 4cos(2x) + 3sin(2x) = 0

-5*(sin^2x + cos^2x) + 4*(cos^2x - sin^2x) + 3*(2sinxcosx) = 0

-5*sin^2x - 5*cos^2x + 4*cos^2x - 4* sin^2x + 6*sinxcosx = 0

- cos^2x - 9*sin^2x + 6*sinxcosx = 0

- (cos^2x - 6*sinxcosx + 9*sin^2x) = 0      делим на  (-1)

(cosx - 3sinx)^2 = 0

cosx - 3sinx = 0       делим на cosx ≠ 0

1 - 3*tgx = 0

 3*tgx = 1

tgx = 1/3

x = arctg(1/3) + πn, n∈Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение.

Начнем с преобразования выражений синуса и косинуса с помощью формулы двойного угла:

4cos(2x) + 3sin(2x) = 5

Раскроем косинус двойного угла:

4(1 - 2sin^2(x)) + 3(2sin(x)cos(x)) = 5

Упростим:

4 - 8sin^2(x) + 6sin(x)cos(x) = 5

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

8sin^2(x) - 6sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь заметим, что мы можем представить левую часть в виде произведения:

(2sin(x) - 1)(4sin(x) + 1) = 0

Теперь решим два уравнения, полученных из этого произведения:

1. 2sin(x) - 1 = 0 2sin(x) = 1 sin(x) = 1/2

2. 4sin(x) + 1 = 0 4sin(x) = -1 sin(x) = -1/4

Теперь найдем значения угла x, для которых sin(x) равно 1/2 и -1/4. Для этого воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций:

sin(x) = 1/2 соответствует углу x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

sin(x) = -1/4 соответствует углу x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 4cos(2x) + 3sin(2x) = 5 выглядит следующим образом:

x = π/6 + 2πn, где n - целое число, или x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число.