Question

Решите уравнение sin x + cos x = o

Answer 1

$sinx+ cosx=0\, |:cosx\ne 0\\\\tgx=-1\\\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in Z$

Answer 2

Уравнение sin x + cos x = 0 не имеет решений в обычных пределах действительных чисел. Причина в том, что значения синуса и косинуса лежат в диапазоне от -1 до 1, и невозможно найти такое значение угла, при котором их сумма равна нулю.

Однако, если мы рассмотрим расширенное множество комплексных чисел, то можно найти решение. Используя тригонометрическую форму комплексных чисел, можем записать sin x и cos x в виде:

sin x = Im(e^(ix)) cos x = Re(e^(ix))

Теперь уравнение можно переписать следующим образом:

Im(e^(ix)) + Re(e^(ix)) = 0

Мы знаем, что комплексное число может быть равно нулю только в том случае, если его вещественная и мнимая части равны нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

Im(e^(ix)) = 0 Re(e^(ix)) = 0

Первое уравнение означает, что мнимая часть e^(ix) равна нулю. Это происходит, когда аргумент e^(ix) равен кратным значениям пи:

ix = nπ, где n - целое число

Из этого следует, что:

x = nπ, где n - целое число

Второе уравнение означает, что вещественная часть e^(ix) равна нулю. Это происходит, когда аргумент e^(ix) смещается на половину периода:

ix = (2n + 1)π/2, где n - целое число

Из этого следует, что:

x = (2n + 1)π/2, где n - целое число

Таким образом, уравнение sin x + cos x = 0 имеет бесконечное множество решений, которые задаются формулами:

x = nπ, где n - целое число или x = (2n + 1)π/2, где n - целое число