Question

Купила "Я решу ЕГЭ" математику - теперь мучаюсь. Найдите корень уравнения 1) 13^(11-x)=7^(11-x) 2) 11^(13-x)=5^(x-13) 3) 2^(7-x)=100*5^(x-7) 4) 2^x*3^x=36^(x-4) 5)

Answer 1

1)

13⁽¹¹⁻ˣ⁾=7⁽¹¹⁻ˣ⁾ |÷7⁽¹¹⁻ˣ⁾

13⁽¹¹⁻ˣ⁾/7⁽¹¹⁻ˣ⁾=1

(13/7)⁽¹¹⁻ˣ⁾=1

(13/7)⁽¹¹⁻ˣ⁾=(13/7)⁰ ⇒

11-x=0

x=11.

2)

11⁽¹³⁻ˣ⁾=5⁽ˣ⁻¹³⁾

11⁽¹³⁻ˣ⁾=(1/5)⁽¹³⁻ˣ⁾ |÷(1/5)⁽¹³⁻ˣ⁾

11⁽¹³⁻ˣ⁾/(1/5)⁽¹³⁻ˣ⁾=1

(11*5)⁽¹³⁻ˣ⁾=1

55⁽¹³⁻ˣ⁾=55⁰ ⇒

13-x=0

x=13.

3)

2⁽⁷⁻ˣ⁾=100*5⁽ˣ⁻⁷⁾

2⁽⁷⁻ˣ⁾=100/5⁽⁷⁻ˣ⁾ |×5⁽⁷⁻ˣ⁾

2⁽⁷⁻ˣ⁾*5⁽⁷⁻ˣ⁾=10²

10⁽⁷⁻ˣ⁾=10² ⇒

7-x=2

x=5.

4)

2ˣ*3ˣ=36⁽ˣ⁻⁴⁾

(2*3)ˣ=6⁽²*⁽ˣ⁻⁴⁾⁾

6ˣ=6⁽²ˣ⁻⁸⁾ ⇒

x=2x-8

x=8.

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое уравнение по отдельности и найдём корни.

1. 13^(11-x) = 7^(11-x)

Мы можем применить логарифмы с обоих сторон уравнения, чтобы избавиться от степеней:

(11 - x) * log(13) = (11 - x) * log(7)

Здесь (11 - x) является общим множителем и может быть сокращено. Если (11 - x) ≠ 0, то оно может быть отброшено:

log(13) = log(7)

Это уравнение не зависит от x и не имеет решений.

2. 11^(13 - x) = 5^(x - 13)

Применим логарифмы с обеих сторон:

(13 - x) * log(11) = (x - 13) * log(5)

Разделим обе части уравнения на log(11):

13 - x = (x - 13) * (log(5) / log(11))

Упростим правую часть уравнения:

13 - x = (x - 13) * log₅₁₁

Это уравнение содержит неизвестное log₅₁₁, которое мы не можем выразить аналитически. Решение может быть найдено численными методами.

3. 2^(7 - x) = 100 * 5^(x - 7)

Разделим обе части на 5^(x - 7):

(2^(7 - x)) / (5^(x - 7)) = 100

Перепишем 100 в виде степени числа 10:

(2^(7 - x)) / (5^(x - 7)) = 10^2

Применим свойство степени: (a^m) / (a^n) = a^(m - n)

2^(7 - x - (x - 7)) = 10^2

2^(14 - 2x) = 100

Применим логарифмы с обеих сторон:

14 - 2x = log₂(100)

14 - 2x = log₂(10^2)

14 - 2x = 2

-2x = 2 - 14

-2x = -12

x = (-12) / (-2)

x = 6

Ответ: x = 6.

4. 2^x * 3^x = 36^(x - 4)

Мы можем представить 36 как 2^2 * 3^2:

2^x * 3^x = (2^2 * 3^2)^(x - 4)

Раскроем скобки:

2^x * 3^x = 2^(2(x - 4)) * 3^(2(x - 4))

Применим свойство степени: (a^m)^(n) = a^(m * n)

2^x * 3^x = 2^(2x - 8) * 3^(2x - 8