Question

Помогите решить интеграл (x+6)/(x^2 + 6x +10) dx

Answer 1

Интеграл x+6/x^2+6x+10dx=1/2log(x^2+6x+10)+3tan^-1(x+3)+c

Answer 2

Для решения данного интеграла можно воспользоваться методом частичных дробей.

Сначала найдем корни знаменателя x^2 + 6x + 10. Используем квадратное уравнение:

x^2 + 6x + 10 = 0

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(10) = 36 - 40 = -4.

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет вещественных корней. Значит, знаменатель не раскладывается на линейные множители.

Для разложения на простые дроби воспользуемся методом частичных дробей. Представим исходное выражение в виде:

(x + 6)/(x^2 + 6x + 10) = A/(x - α) + B/(x - β),

где α и β - комплексные корни характеристического уравнения x^2 + 6x + 10 = 0.

Теперь найдем коэффициенты A и B, умножив обе части равенства на знаменатель:

(x + 6) = A(x - β) + B(x - α).

Подставим в это уравнение значения x = α и x = β.

При x = α получим:

α + 6 = A(α - β).

При x = β получим:

β + 6 = B(β - α).

Решив эту систему уравнений относительно A и B, найдем их значения:

A = (α + 6)/(α - β), B = (β + 6)/(β - α).

Теперь интегрируем разложенное выражение:

∫[(x + 6)/(x^2 + 6x + 10)] dx = ∫[A/(x - α) + B/(x - β)] dx.

= A∫[1/(x - α)] dx + B∫[1/(x - β)] dx.

= A ln |x - α| + B ln |x - β| + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, получаем окончательный ответ:

∫[(x + 6)/(x^2 + 6x + 10)] dx = (α + 6)/(α - β) ln |x - α| + (β + 6)/(β - α) ln |x - β| + C.