Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 65, а разность катетов треугольника равна 23. Найдите площадь треугольника.с подробным решением пж

Answer 1

$c=65, a-b=23, \\ c^2=a^2+b^2, \\ S= \frac{1}{2}ab, \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \\ -2ab=(a-b)^2-(a^2+b^2) , \\ ab= \frac{(a^2+b^2)-(a-b)^2}{2}, \\ ab= \frac{c^2-(a-b)^2}{2}, \\ S=\frac{c^2-(a-b)^2}{4}, \\ S=\frac{65^2-23^2}{4}=\frac{42\cdot88}{4}=42\cdot22=924.$

Answer 2

Один катет х, другой катет у.
х-у=23
х²+у²=65²
Решаем систему уравнений
х=23+у
(23+у)²+у²=4225
529+46у+2у²=4225
у²+23у-1848=0
Д=529-4*(-1848)=7921
у=(-23+89)/2=33
х=23+33=56
Площадь 1/2*33*56=924.

Answer 3

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам понадобится длина его катетов. По условию задачи, разность катетов равна 23. Пусть один катет равен x, тогда второй катет будет равен x + 23.

Также, по теореме Пифагора, гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза равна 65:

65^2 = x^2 + (x + 23)^2

Раскроем скобки в правой части уравнения:

4225 = x^2 + x^2 + 46x + 529

Объединим подобные слагаемые:

2x^2 + 46x + 529 - 4225 = 0

2x^2 + 46x - 2696 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

D = 46^2 - 4 * 2 * (-2696)

D = 2116 + 21568

D = 23684

Найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-46 ± √23684) / (2 * 2)

x = (-46 ± 154) / 4

Первый корень:

x1 = (-46 + 154) / 4

x1 = 108 / 4

x1 = 27

Второй корень:

x2 = (-46 - 154) / 4

x2 = -200 / 4

x2 = -50

Так как длина стороны не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательный корень и оставляем только положительный:

x = 27

Теперь мы знаем длину катета. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:

Площадь = (основание * высота) / 2

В нашем случае, один из катетов является основанием, а второй катет — высотой. Таким образом, площадь треугольника будет равна:

Площадь = (27 * (27 + 23)) / 2

Площадь = (27 * 50) / 2

Площадь = 1350 / 2

Площадь = 675

Площадь треугольника равна 675.